2023学年黑龙江省大庆四中高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则的最小值为（ ） 参考数据： A． B． C． D． 4．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减 5．如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（ ） A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1 B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AE C．四面体EMAC的体积为定值 D．四面体FA1C1B的体积不为定值 6．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 8．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A．2 B． C． D．1 9．在中所对的边分别是，若，则（ ） A．37 B．13 C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________． 14．在四面体中， 分别是的中点．则下述结论： ①四面体的体积为； ②异面直线所成角的正弦值为； ③四面体外接球的表面积为； ④若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为． 其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号） 15．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________. 16．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 18．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的值. 19．（12分）设函数. （1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围； （2）若，证明：. 20．（12分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦. 21．（12分）设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值； （Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证： . 22．（10分）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数. （参考数据：） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 直接求交集得到答案. 【题目详解】 集合，则. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 2、C 【答案解析】 利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。 【题目详解】 设，， 由，与相似， 所以，即， 又因为， 所以，， 所以，即，， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。 3、A 【答案解析】 首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值. 【题目详解】 由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 4、C 【答案解析】 先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【题目详解】 函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增. 故选：C 【答案点睛】 本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题. 5、C 【答案解析】 采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【题目详解】 A错误 由平面，// 而与平面相交， 故可知与平面相交，所以不存在EF//BC1 B错误，如图，作 由 又平面，所以平面 又平面，所以 由//，所以 ，平面 所以平面，又平面 所以，所以存在 C正确 四面体EMAC的体积为 其中为点到平面的距离， 由//，平面，平面 所以//平面， 则点到平面的距离即点到平面的距离， 所以为定值，故四面体EMAC的体积为定值 错误 由//，平面，平面 所以//平面， 则点到平面的距离即为点到平面的距离， 所以为定值 所以四面体FA1C1B的体积为定值 故选：C 【答案点睛】 本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题. 6、A 【答案解析】 根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围. 【题目详解】 已知与的图象有一个横坐标为的交点， 则， ， ，， ， 若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则， 所以当时，， 在有且仅有5个零点， ， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 7、C 【答案解析】 连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值. 【题目详解】 连接AO，由O为BC中点可得， ， 、、三点共线， ， . 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 8、B 【答案解析】 ，选B. 9、D 【答案解析】 直接根据余弦定理求解即可． 【题目详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 10、B 【答案解析】 由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围. 【题目详解】 由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，. . 故选： 【答案点睛】 本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题. 11、C 【答案解析】 先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围. 【题目详解】 由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故， 又有，综上得的取值范围是. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 12、B 【答案解析】 根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【题目详解】 因为该程序图是计算值的一个程序框圈 所以共循环了5次 所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6， 即判断框内的不等式应为或 所以选C 【答案点睛】 本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【题目详解】 解：根据题意，对于第一个不等式，，则有， 对于第二个不等式，，则有， 对于第三个不等式，，则有， 依此类推： 第个不等式为：， 故答案为． 【答案点睛】 本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律． 14、①③④． 【答案解析】 补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计算截面面积的最值. 【题目详解】 根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为， ，解得 补成长，宽，高分别为的长方体，在长方体中： ①四面体的体积为，故正确 ②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错； ③四面体外接球就是长方体的外接球，半径，其表面积为，故正确； ④由于，故截面为平行四边形，可得， 设异面直线与所成的角为，则，算得， ．故正确． 故答案为：①③④． 【答案点睛】 此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法. 15、 【答案解析】 设，可表示出，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【题目详解】 设则，由两两垂直知三棱锥的三条棱的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为， ∴ 当时，． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和． 16、 【答案解析】 利用导数的几何意义即可解决. 【题目详解】 由已知，，，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。