2023学年黑龙江省尚志市尚志中学高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的大致图象是 A． B． C． D． 2．已知是函数的极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．若，则实数的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列结论中正确的是 ①函数的最小正周期为； ②函数的图象是轴对称图形； ③函数的极大值为； ④函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ） A． B． C． D． 8．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 9．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ） A． B． C． D． 10．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（ ） A． B． C． D． 12．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，直三棱柱中，，，，P是的中点，则三棱锥的体积为________. 14．若函数，则使得不等式成立的的取值范围为_________. 15．已知，满足不等式组，则的取值范围为________． 16．已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）记函数的最大值为，若，证明：. 18．（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且. （1）已知_______________，计算的面积； 请①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求的最大值. 19．（12分）已知函数 （1）解不等式； （2）若均为正实数，且满足，为的最小值，求证：. 20．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）： 组 组 组 假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙． （1）求丙的高度小于厘米的概率； （2）求甲的高度大于乙的高度的概率； （3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 21．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）. 若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； 若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值. 22．（10分）已知，，不等式恒成立. （1）求证: （2）求证:. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【题目详解】 由题意可知函数为奇函数，可排除B选项； 当时，，可排除D选项； 当时，，当时，， 即，可排除C选项， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 2、B 【答案解析】 方法一：令，则，， 当，时，，单调递减， ∴时，，，且， ∴，即在上单调递增， 时，，，且， ∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意； 当时，存在使得，即， 又在上单调递减，∴时，，所以， 这与是函数的极大值点矛盾． 综上，．故选B． 方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B． 3、A 【答案解析】 将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【题目详解】 依题意，由对数函数的性质可得. 又因为，故. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小. 4、B 【答案解析】 利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围. 【题目详解】 解：设 ，则有且只有一个实数根. 当 时，当 时， ，由即，解得， 结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意； 当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当 时，当 时，，此时 最小值为 ， 结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 . 综上所述： 或. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键. 5、D 【答案解析】 因为，所以①不正确； 因为，所以， ，所以， 所以函数的图象是轴对称图形，②正确； 易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确； 因为，所以，所以函数的最小值为，④正确． 故选D． 6、D 【答案解析】 由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【题目详解】 执行该程序可得． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解． 7、D 【答案解析】 画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数． 【题目详解】 画出函数 令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个 故选：D 【答案点睛】 本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题． 8、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 9、B 【答案解析】 首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值. 【题目详解】 如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，， 过分别做，的平行线，， 由题知， 则外接圆半径， 因为，所以， 又因为，所以，， 由题可知， 所以，， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 10、A 【答案解析】 根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【题目详解】 输入，， 因为，所以由程序框图知， 输出的值为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题. 11、B 【答案解析】 分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【题目详解】 对于，图象如下图所示： 则函数在定义域上不单调，错误； 对于，的图象如下图所示： 则在定义域上单调递增，且值域为，正确； 对于，的图象如下图所示： 则函数单调递增，但值域为，错误； 对于，的图象如下图所示： 则函数在定义域上不单调，错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题. 12、B 【答案解析】 先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求. 【题目详解】 解：角的终边与单位圆交于点 ， ， 故选：B 【答案点睛】 考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 证明平面，于是，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【题目详解】 平面，平面， ，又. 平面， 是的中点， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题. 14、 【答案解析】 分，两种情况代入讨论即可求解. 【题目详解】 ， 当时，，符合； 当时，，不满足. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想. 15、 【答案解析】 画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为． 16、2. 【答案解析】 由双曲线的一条渐近线为，解得．求出双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式求解即可． 【题目详解】 双曲线的一条渐近线为 解得： 双曲线的右焦点为 焦点到这条渐近线的距离为： 本题正确结果： 【答案点睛】 本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）证明见解析 【答案解析】 （1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可； （2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可. 【题目详解】 （1） ①当时，恒成立， ； ②当时，，即， ； ③当时，显然不成立，不合题意； 综上所述，不等式的解集为. （2）由（1）知， 于是 由基本不等式可得 （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号） 上述三式相加可得 （当且仅当时取等号） ， ，故得证. 【答案点睛】 本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.