2023学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则集合( ) A． B． C． D． 2．已知向量，且，则m=( ) A．−8 B．−6 C．6 D．8 3．设全集集合，则（ ） A． B． C． D． 4．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知命题：，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 7．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A． B． C． D． 8．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数. 对于下列说法： ①越小，则国民分配越公平； ②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则. 其中正确的是： A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 11．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________． 14．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________. 15．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______. 16．若，则_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式； （2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由. 18．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求几何体的体积. 19．（12分）在中，． （1）求的值； （2）点为边上的动点（不与点重合），设，求的取值范围． 20．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 24 （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望． 21．（12分）某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设． （1）用表示线段并确定的范围； （2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值． 22．（10分）2019年底，北京2023年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下: (Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明) 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 ，故可得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的混合运算，属基础题. 2、D 【答案解析】 由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【题目详解】 ∵，又， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1． 故选D． 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 3、A 【答案解析】 先求出，再与集合N求交集. 【题目详解】 由已知，，又，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题. 4、A 【答案解析】 根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题. 5、B 【答案解析】 由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【题目详解】 双曲线的渐近线方程为，由题意可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题. 6、C 【答案解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【题目详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 7、C 【答案解析】 先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【题目详解】 从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有种情况， 2张均没有奖的情况有（种），故所求概率为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 8、C 【答案解析】 由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解 【题目详解】 先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时， 故选：C 【答案点睛】 本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 9、A 【答案解析】 投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【题目详解】 设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 10、A 【答案解析】 对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A． 11、C 【答案解析】 设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值． 【题目详解】 设，则，记， ，易知是增函数，且的值域是， ∴的唯一解，且时，，时，，即， 由题意，而，， ∴，解得，． ∴． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键． 12、D 【答案解析】 连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【题目详解】 连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以. 【答案点睛】 本题考查向量的线性运算问题，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果. 【题目详解】 向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称 关于对称 即： 本题正确结果： 【答案点睛】 本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 14、 【答案解析】 利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可. 【题目详解】 因为，成等差数列， 所以， 由等比数列通项公式得， ， 所以， 解得或， 因为，所以， 所以等比数列的通项公式为 . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识 综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键；属于中档题. 15、 【答案解析】 把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值． 【题目详解】 解：由，得， ， 即， ， 又， ，解得：． 为正的常数，． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题． 16、 【答案解析】 因为，所以.因为，所以，又，所以，所以.. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析，或；（2）存在，. 【答案解析】 （1）满足题意有两种组合：①，，，②，，，分别计算即可； （2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数，使得，，成等比数列，即，解方程是否存在正整数解即可. 【题目详解】 （1）由题意可知：有两种组合满足条件： ①，，，此时等差数列，，， 所以其通项公式为. ②，，，此时等差数列，，， 所以其通项公式为. （2）若选择①，. 则. 若，，成等比数列，则， 即，整理，得，即， 此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列. 若选则②，，