2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊校高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001） A．0.110 B．0.112 C． D． 3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ） A． B． C． D．2 4．设是虚数单位，若复数，则（ ） A． B． C． D． 5．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（　　） A． B． C． D． 6．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C．0 D． 7．的展开式中的系数是-10，则实数( ) A．2 B．1 C．-1 D．-2 8．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（ ） A．图象关于点对称，在区间上为增函数 B．函数最大值为2，图象关于点对称 C．图象关于直线对称，在上的最小值为1 D．最小正周期为，在有两个根 9．曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C．4 D．8 10．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．1 12．已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为（ ） A．1 B． C．2 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，若，则实数的取值范围为__________． 14．函数在的零点个数为________． 15．已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________ . 16．设实数x，y满足，则点表示的区域面积为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，，证明：. 18．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 19．（12分）已知，. （1）解； （2）若，证明：. 20．（12分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值. 21．（12分）已知函数 （1）若函数在处取得极值1，证明： （2）若恒成立，求实数的取值范围. 22．（10分）已知数列满足且 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【题目详解】 解：， 则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：， 位于第二象限. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 2、C 【答案解析】 根据题意知,，代入公式,求出即可. 【题目详解】 由题意可得,因为, 所以,即. 所以这种射线的吸收系数为. 故选:C 【答案点睛】 本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 3、B 【答案解析】 首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【题目详解】 根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺, 可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处， 所以所求的最短路径的长度为，故选B. 点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 4、A 【答案解析】 结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【题目详解】 ∵复数，∴，，则， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 5、B 【答案解析】 根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【题目详解】 在复平面内对应的点的坐标为，则， ， ∵， 代入可得， 解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 6、C 【答案解析】 先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可. 【题目详解】 记圆的圆心为，设，则，设，记，则 ，令， 因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）. 故选：C 【答案点睛】 此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题. 7、C 【答案解析】 利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可. 【题目详解】 二项式展开式的通项为，令，得， 则，所以，解得. 故选：C 【答案点睛】 本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 8、C 【答案解析】 由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【题目详解】 函数， 则， 将向左平移个单位， 可得， 由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误； 对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确； 对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误； 综上可知，正确的为C， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题. 9、B 【答案解析】 求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可. 【题目详解】 因为， 所以， 故， 解得， 又切线过点， 所以，解得， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 10、D 【答案解析】 利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围. 【题目详解】 的定义域为，， 所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，， 所以在区间上的最大值为. 要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形， 则需恒成立，且， 也即，也即当、时，成立， 即，且，解得.所以的取值范围是. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 11、C 【答案解析】 先将，化简转化为，再得到下结论. 【题目详解】 已知复数， 所以， 所以的虚部为-1. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 设直线的方程为代入抛物线方程，利用韦达定理可得,,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果. 【题目详解】 设，（，）.易知直线l的斜率存在且不为0，设为，则直线l的方程为.与抛物线方程联立得，所以，.因为，所以，得，所以，即，，所以. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解. 【题目详解】 作出函数的图如下所示， 观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减，故 ， 故实数的取值范围为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式. 函数奇偶性的常用结论： (1)如果函数是偶函数，那么． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 14、 【答案解析】 求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【题目详解】 详解： 由题可知，或 解得,或 故有3个零点． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题． 15、 【答案解析】 根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论. 【题目详解】 由,，设的中点为， 根据题意，可得,且， 解得，,，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题. 16、 【答案解析】 先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解. 【题目详解】 画出实数x，y满足表示的平面区域，如图（阴影部分）： 则阴影部分的面积， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）见解析 【答案解析】 （1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性. （2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立. 【题目详解】 （1）. 当时，，此时在上单调递减； 当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增. （2）由（1）知.，，， 不妨设，∴， ， 令， ∴， ∴在上是减函数