2023学年黑龙江省大庆市大庆实验中学高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 2．已知复数满足，则（ ） A． B．2 C．4 D．3 3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 4．的展开式中的项的系数为（ ） A．120 B．80 C．60 D．40 5．函数的图象大致为 A． B． C． D． 6． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ) A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B．这五年，2015年出口额最少 C．这五年，2019年进口增速最快 D．这五年，出口增速前四年逐年下降 7．已知集合，则( ) A． B． C． D． 8．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ） A． B． C． D． 9．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称 11．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ） A．12 B． C． D． 12．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A．180 B．90 C．45 D．360 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝_______. 14．若，则____. 15．设函数，则______. 16．已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值． 18．（12分）已知，，为正数，且，证明： （1）； （2）. 19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率分别为. ①若，求证：直线过定点； ②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由. 20．（12分）已知函数，且. （1）求的解析式； （2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 21．（12分）已知. （Ⅰ） 若，求不等式的解集； （Ⅱ），，，求实数的取值范围. 22．（10分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解. 【题目详解】 解：， 一条渐近线 ， 故选：B 【答案点睛】 利用的关系求双曲线的离心率，是基础题. 2、A 【答案解析】 由复数除法求出，再由模的定义计算出模． 【题目详解】 ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 3、B 【答案解析】 化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 4、A 【答案解析】 化简得到，再利用二项式定理展开得到答案. 【题目详解】 展开式中的项为. 故选： 【答案点睛】 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 5、D 【答案解析】 由题可得函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除选项B； 又，，所以排除选项A、C，故选D． 6、D 【答案解析】 根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【题目详解】 对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确； 对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确； 对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确； 对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误； 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 7、B 【答案解析】 先由得或，再计算即可. 【题目详解】 由得或， ，, 又，. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 8、C 【答案解析】 根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【题目详解】 由题可知，程序框图的运行结果为31， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 此时输出. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 9、A 【答案解析】 根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解. 【题目详解】 设点的坐标为， 由题意知，焦点,准线方程， 所以，解得， 把点代入抛物线方程可得， ，因为，所以， 所以点坐标为， 代入斜率公式可得，. 故选：A 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题. 10、B 【答案解析】 根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】 根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得， 所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以， 又，所以，所以， 令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B． 【答案点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 11、C 【答案解析】 过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可. 【题目详解】 在和中，，所以，则， 过作于，连接，显然，则，且， 又因为，所以平面， 所以， 当最大时，取得最大值，取的中点，则， 所以， 因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为， 所以最大值为，故的最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 12、A 【答案解析】 试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定理，即可求解. 【题目详解】 , ， ， ， . 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 14、 【答案解析】 由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果. 【题目详解】 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查. 15、 【答案解析】 由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案. 【题目详解】 因为函数，则 因为，则 故 故答案为： 【答案点睛】 本题考查分段函数求值，属于简单题. 16、 【答案解析】 通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过∥轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案. 【题目详解】 根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入， 可得，即，由于在线段上，故，即，解得 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），（2） 【答案解析】 (1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程; (2) 由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可. 【题目详解】 （1）直线的普通方程为，即， 根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，，， 而，则， 即， 故直线l的普通方程为， 曲线C的直角坐标方程 （2）点在直线l上，且直线的倾斜角为， 可设直线的参数方程为：（t为参数）， 代入到曲线C的方程得 ，，， 由参数的几何意义知． 【答案点睛】 熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般. 18、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）利用均值不等式即可求证； （2）利用，结合，即可证明. 【题目详解】 （1）∵，同理有，， ∴. （2）∵，∴. 同理有，. ∴ . 【答案点睛】 本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题. 19、（1）；（2）①证明见解析；② 【答案解析】 （1）由题意焦距为2，设点，代入椭圆，解得，从而四边形的面积，由此能求出椭圆的标准方程． （2）①由题意，联立直线与椭圆的方程，得，推导出，，，，由此猜想：直线过定点，从而能证明，，三点共线，直线过定点． ②由题意设，，，，直线，代入椭圆标准方程：，得，推导出，，由此推导出（定值）． 【题目详解】 （1）由题意焦距为2，可设点，代入椭圆， 得，解得， 四边形的面积， ，， 椭圆的标准方程为． （2）①由题意， 联立直线与椭圆的方程，得， ，解得，