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2023
学年
黑龙江省
鸡西市
一中
最后
冲刺
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知某口袋中有3个白球和个黑球(),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是.若,则= ( )
A. B.1 C. D.2
2.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
3.已知为锐角,且,则等于( )
A. B. C. D.
4.设为等差数列的前项和,若,则
A. B.
C. D.
5.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,当,,不共线时,的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
6.2019年10月1日上午,庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校,学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道:①甲不是军事科学院的;②来自军事科学院的不是博士;③乙不是军事科学院的;④乙不是博士学位;⑤国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的,学位是什么( )
A.国防大学,研究生 B.国防大学,博士
C.军事科学院,学士 D.国防科技大学,研究生
7.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,化简,得.设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A. B. C. D.
8.下列结论中正确的个数是( )
①已知函数是一次函数,若数列通项公式为,则该数列是等差数列;
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则;
③在中,“”是“”的必要不充分条件;
④若,则的最大值为2.
A.1 B.2 C.3 D.0
9.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为( )
A. B. C. D.
10.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
11.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是( )
A.或 B. C. D.
12.已知函,,则的最小值为( )
A. B.1 C.0 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在平面直角坐标系中,点的坐标为,点是直线:上位于第一象限内的一点.已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为,则点的坐标__________.
14.在四棱锥中,底面为正方形,面分别是棱的中点,过的平面交棱于点,则四边形面积为__________.
15.已知数列满足对任意,,则数列的通项公式__________.
16.圆心在曲线上的圆中,存在与直线相切且面积为的圆,则当取最大值时,该圆的标准方程为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数
(1)若,试讨论的单调性;
(2)若,实数为方程的两不等实根,求证:.
18.(12分)如图,四棱锥的底面ABCD是正方形,为等边三角形,M,N分别是AB,AD的中点,且平面平面ABCD.
(1)证明:平面PNB;
(2)问棱PA上是否存在一点E,使平面DEM,求的值
19.(12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:
甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350
乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.
(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;
(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为 (单位:元),求的分布列和数学期望;
(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
20.(12分)已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).
(1)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
21.(12分)已知函数,.
(1)证明:函数的极小值点为1;
(2)若函数在有两个零点,证明:.
22.(10分)如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,点分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【答案解析】
由题意或4,则,故选B.
2、B
【答案解析】
利用基本不等式得,可判断②;和联立解得可判断①③;由图可判断④.
【题目详解】
,
解得(当且仅当时取等号),则②正确;
将和联立,解得,
即圆与曲线C相切于点,,,,
则①和③都错误;由,得④正确.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.
3、C
【答案解析】
由可得,再利用计算即可.
【题目详解】
因为,,所以,
所以.
故选:C.
【答案点睛】
本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题.
4、C
【答案解析】
根据等差数列的性质可得,即,
所以,故选C.
5、A
【答案解析】
根据平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,利用直接法求得轨迹,然后利用数形结合求解.
【题目详解】
如图所示:
设,,,则,
化简得,
当点到(轴)距离最大时,的面积最大,
∴面积的最大值是.
故选:A.
【答案点睛】
本题主要考查轨迹的求法和圆的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
6、C
【答案解析】
根据①③可判断丙的院校;由②和⑤可判断丙的学位.
【题目详解】
由题意①甲不是军事科学院的,③乙不是军事科学院的;
则丙来自军事科学院;
由②来自军事科学院的不是博士,则丙不是博士;
由⑤国防科技大学的是研究生,可知丙不是研究生,
故丙为学士.
综上可知,丙来自军事科学院,学位是学士.
故选:C.
【答案点睛】
本题考查了合情推理的简单应用,由条件的相互牵制判断符合要求的情况,属于基础题.
7、A
【答案解析】
分析:设三角形的直角边分别为1,,利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.
解析:设三角形的直角边分别为1,,则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为.
图钉落在黄色图形内的概率为.
落在黄色图形内的图钉数大约为.
故选:A.
点睛:应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型,将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形,并加以度量.
(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在数轴上即可;
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.
8、B
【答案解析】
根据等差数列的定义,线面关系,余弦函数以及基本不等式一一判断即可;
【题目详解】
解:①已知函数是一次函数,若数列的通项公式为,
可得为一次项系数),则该数列是等差数列,故①正确;
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则与可以相交或平行,故②错误;
③在中,,而余弦函数在区间上单调递减,故 “”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要条件,故③错误;
④若,则,所以,当且仅当时取等号,故④正确;
综上可得正确的有①④共2个;
故选:B
【答案点睛】
本题考查命题的真假判断,主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质,考查运算能力和推理能力,属于中档题.
9、D
【答案解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.
【题目详解】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,
因为圆柱的表面积公式为,
所以,解得,
因为圆柱的体积公式为,
所以,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,
所以所求圆柱内切球的体积为
.
故选:D
【答案点睛】
本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.
10、C
【答案解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.
【题目详解】
因为为等比数列,所以,故即,
由可得或,因为为递增数列,故符合.
此时,所以或(舍,因为为递增数列).
故,.
故选C.
【答案点睛】
一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:
(1)若,则;
(2)公比时,则有,其中为常数且;
(3) 为等比数列( )且公比为.
11、C
【答案解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令 ,可得 当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.
【题目详解】
解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得 ,
.
令 ,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.
故选:C.
【答案点睛】
本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.
12、B
【答案解析】