2023学年黑龙江哈尔滨市省实验中学高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( ) A．. B． C． D． 3．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. A． B． C． D． 4．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( ) A． B．2 C． D． 5．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ） A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85 6．若集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A．9 B．27 C．81 D． 8．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ） A．点M在圆C上 B．点M在圆C外 C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能 9．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 10．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）. A． B． C． D． 11．若，满足约束条件，则的最大值是（ ） A． B． C．13 D． 12．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，，，，则__________． 14．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 15．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________． 16．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵． 18．（12分）已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C． （1）求cosC的值； （2）若a＝3，c，求△ABC的面积． 19．（12分）已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值． 21．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线. （1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？ （2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率； （3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 22．（10分）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可 【题目详解】 因为，又依题意知的值域为，所以 得，， 所以，令，得，则的图象的对称中心为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 2、C 【答案解析】 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【题目详解】 A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误； B中，，所以在区间上为减函数，则错误； D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题. 3、B 【答案解析】 如图，已知，，  ∴，解得 ， ∴，解得 . ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B. 4、B 【答案解析】 由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出. 【题目详解】 由题意，直角梯形中，，，，， 可求得，所以· ∵点在线段上， 设 ， 则 ， 即， 又因为 所以， 所以， 当时，等号成立. 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力. 5、D 【答案解析】 由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可. 【题目详解】 设等比数列{an}的公比为q， ∵a5＝16，a3a4＝﹣32， ∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32， ∴q＝﹣2，则， 则， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 6、D 【答案解析】 由题意，分析即得解 【题目详解】 由题意，故， 故选：D 【答案点睛】 本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 7、A 【答案解析】 根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值. 【题目详解】 设等比数列的公比为q. 由，得，解得或. 因为.且数列递增，所以. 又，解得， 故. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8、B 【答案解析】 根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可. 【题目详解】 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 即． 也就是点到圆的圆心的距离大于半径． 即点与圆的位置关系是点在圆外． 故选： 【答案点睛】 本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 9、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 10、D 【答案解析】 如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【题目详解】 中，易知， 翻折后, ， ， 设外接圆的半径为， ， ， 如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为， ， 四面体的外接球的表面积为. 故选：D 【答案点睛】 本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 11、C 【答案解析】 由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【题目详解】 解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即 点到坐标原点的距离最大，即． 故选：． 【答案点睛】 本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 12、B 【答案解析】 根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解. 【题目详解】 从八卦中任取两卦基本事件的总数种， 这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种， 分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）， 所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 由已知利用余弦定理可得，即可解得的值． 【题目详解】 解：，，， 由余弦定理， 可得，整理可得：， 解得或（舍去）． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 14、 【答案解析】，由题意，得, 解得，则的周期为4，且，所以. 考点：三角函数的图像与性质. 15、 【答案解析】 在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 【题目详解】 不等式两边同时取对数得， 即x2lnx1＜x1lnx2，又 即成立， 设f（x）＝，x∈（0，m）， ∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数， 函数的导数， 由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1， 得0＜x＜e， 即函数f（x）的最大增区间为（0，e）， 则m的最大值为e 故答案为：e 【答案点睛】 本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键 16、 【答案解析】 根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数 取得最小值. 【题目详解】 由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分： 将目标函数，转化为， 平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点 此时，目标函数 取得最小值，最小值为 故答案为：-1 【答案点睛】 本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、． 【答案解析】 试题分析：，所以． 试题解析： B．因为， 所以． 18、（1）；（2）或． 【答案解析】 （1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b＝1或b＝3，结合面积公式求解.