2023届上海市普陀区上海师大附中高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列说法中正确的是（ ） A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 3．设，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D．6 5．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A． B． C． D． 9．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A．6里 B．12里 C．24里 D．48里 11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ） A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著 B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关 C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上 D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________. 14．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 15．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____ 16．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长. 18．（12分）已知首项为2的数列满足. （1）证明：数列是等差数列． （2）令，求数列的前项和. 19．（12分）在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知外接圆半径,求的周长. 20．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，. （1）求； （2）若，点为边上一点，且，求的面积. 21．（12分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且． （1）求角A的值； （2）若，设角，周长为y，求的最大值． 22．（10分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【题目详解】 已知，赋值法讨论的情况： （1）当时，令，，则，，排除B、C选项； （2）当时，令，，则，排除A选项. 故选：D. 【答案点睛】 比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 2、D 【答案解析】 举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【题目详解】 当时，故命题为假命题； 记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex， 易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题； ∴是假命题 故选D 【答案点睛】 本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题． 3、D 【答案解析】 集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【题目详解】 ， ， 则 故选 【答案点睛】 本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 4、B 【答案解析】 设，，利用复数几何意义计算. 【题目详解】 设，由已知，，所以点在单位圆上， 而，表示点 到的距离，故. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决. 5、D 【答案解析】 把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率． 【题目详解】 3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为． 故选：D. 【答案点睛】 本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率． 6、A 【答案解析】 先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可. 【题目详解】 当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为. 在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 7、D 【答案解析】 试题分析：，,故选D. 考点：点线面的位置关系. 8、B 【答案解析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【题目详解】 正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为，故选B. 【答案点睛】 本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 9、D 【答案解析】 试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 10、C 【答案解析】 设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程． 【题目详解】 设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列， 由题意得：， 解得（里， （里． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 11、D 【答案解析】 由折线图逐项分析即可求解 【题目详解】 选项，显然正确； 对于，，选项正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错. 故选：D 【答案点睛】 本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题 12、A 【答案解析】 观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。 【题目详解】 设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为 ，故选A。 【答案点睛】 本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、39 【答案解析】 设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可. 【题目详解】 设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以. 故答案为：39 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意容积，求导研究单调性，分析即得解. 【题目详解】 由题意：容积，， 则， 由得或（舍去）， 令 则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 15、 【答案解析】 双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率． 【题目详解】 解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合， 一条渐近线的斜率为1，即， ，， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题． 16、 【答案解析】 结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可 【题目详解】 等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有 由知，因此. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可； （2）设，，由，即可求出，则计算可得； 【题目详解】 解：（1）圆的参数方程（为参数）可化为， ∴，即圆的极坐标方程为. （2）设，由，解得. 设，由，解得. ∵，∴. 【答案点睛】 本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论; （2）由（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可. 【题目详解】 （