2023学年黑龙江省齐齐哈尔市高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( ) A． B．3 C．2 D． 3．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．已知数列满足,(),则数列的通项公式( ) A． B． C． D． 5．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，(为虚数单位)，则( ) A． B． C． D．3 7．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ） A．依次成等差数列 B．依次成等差数列 C．依次成等差数列 D．依次成等差数列 8．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A．8年 B．9年 C．10年 D．11年 10．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．4 D．2 11．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（ ） A． B． C． D． 12．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为__________． 14．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种． 15．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________． 16．若、满足约束条件，则的最小值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求cosC； （2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB. 19．（12分）设函数，． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）时，若，，求证：． 20．（12分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由. 21．（12分）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对恒成立，求的取值范围. 22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，． （）求与平面所成角的正弦． （）求二面角的余弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积. 【题目详解】 为的角平分线，则. ，则， ， 在中，由正弦定理得，即，① 在中，由正弦定理得，即，② ①②得，解得，， 由余弦定理得，， 因此，的面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 2、D 【答案解析】 本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可． 【题目详解】 结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故 对三角形运用余弦定理，得到， 而结合，可得，，代入上式子中，得到 ，结合离心率满足，即可得出，故选D． 【答案点睛】 本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 3、B 【答案解析】 先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【题目详解】 是奇函数，排除C，D；，排除A. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数图象的判断，属于常考题. 4、A 【答案解析】 利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【题目详解】 数列满足：，， 可得 以上各式相加可得： ， 故选：． 【答案点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力． 5、B 【答案解析】 ①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断， ④利用集合间的包含关系判断. 【题目详解】 若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误； 由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 6、A 【答案解析】 ，故，故选A. 7、C 【答案解析】 由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果. 【题目详解】 依次成等差数列，， 正弦定理得， 由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 8、A 【答案解析】 利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值. 【题目详解】 由题意得，， ， ， 解得. 故选A. 【答案点睛】 本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题. 9、D 【答案解析】 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案. 【题目详解】 依题意在回归直线上， ， 由， 估计第年维修费用超过15万元. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 10、D 【答案解析】 设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率． 【题目详解】 解：设，，， ∵， ∴，即，① 又，②， 由①②可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 11、A 【答案解析】 由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论. 【题目详解】 对于任意，函数满足， 因为函数关于点对称， 当时，是单调增函数， 所以在定义域上是单调增函数. 因为，所以， . 故选:A. 【答案点睛】 本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 12、B 【答案解析】 分别判断充分性和必要性得到答案. 【题目详解】 所以 （逆否命题）必要性成立 当，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【答案点睛】 本题考查了充分必要条件，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、16. 【答案解析】 由题意可知抛物线的焦点，准线为 设直线的解析式为 ∵直线互相垂直 ∴的斜率为 与抛物线的方程联立，消去得 设点 由跟与系数的关系得，同理 ∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ∴，同理 ∴，当且仅当时取等号. 故答案为16 点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件． 14、60 【答案解析】 试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种. 考点：排列组合. 15、1 【答案解析】 由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和. 【题目详解】 由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法. 16、 【答案解析】 作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【题目详解】 作出不等式组所表示的可行域如下图所示： 联立，解得，即点， 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标. 【题目详解】 （1）面积的最大值为，则： 又，，解得：， 椭圆的方程为： （2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形 设，，线段的中点为 由，消去可得： ，解得： ∴， ， 依题意有， 由可得：，可得： 由可得： ， 代入上式化简可得： 则：，解得： 当时，点满足题意；当时，点满足题意 故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 【答案点睛】 本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. 18、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解； （2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出 ，即可求出结论. 【题目详解】 （1