2023学年陕西省西安市莲湖区高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的二项展开式中，的系数是（ ） A．70 B．-70 C．28 D．-28 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ） A． B． C． D． 4．设为非零实数，且，则（ ） A． B． C． D． 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A． B．6 C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．在三角形中，，，求（ ） A． B． C． D． 8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 9．设，则，则（ ） A． B． C． D． 10．tan570°=（ ） A． B．- C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________. 14．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________. 15．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________. 16．抛物线的焦点坐标为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围. 18．（12分）已知函数． （1）解不等式：； （2）求证：． 19．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下： 一周课外读书时间/ 合计 频数 4 6 10 12 14 24 46 34 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.17 1 （1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数. （2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 20．（12分）已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，，证明：. 21．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）已知函数． 当时，求不等式的解集； ，，求a的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A． 考点：二项式定理的应用． 2、C 【答案解析】 由题意和交集的运算直接求出. 【题目详解】 ∵ 集合， ∴. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆. 3、B 【答案解析】 先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求. 【题目详解】 解：角的终边与单位圆交于点 ， ， 故选：B 【答案点睛】 考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 4、C 【答案解析】 取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案. 【题目详解】 ，故，，故正确； 取，计算知错误； 故选：. 【答案点睛】 本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 5、D 【答案解析】 用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得. 【题目详解】 执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为. 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易. 6、D 【答案解析】 由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e. 【题目详解】 由题意得，， ，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 7、A 【答案解析】 利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值. 【题目详解】 ，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，，. 由正弦定理得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8、B 【答案解析】 基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率. 【题目详解】 解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦， 取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个， 所以，所求的概率. 故选：B. 【答案点睛】 本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题． 9、A 【答案解析】 根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案. 【题目详解】 ， ， . ，显然. ,即， ，即. 综上，. 故选：. 【答案点睛】 本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 10、A 【答案解析】 直接利用诱导公式化简求解即可． 【题目详解】 tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 11、B 【答案解析】 由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围. 【题目详解】 由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，. . 故选： 【答案点睛】 本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题. 12、B 【答案解析】 构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断． 【题目详解】 如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。 若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于 若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线 ∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件． 故选：B． 【答案点睛】 本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值. 【题目详解】 由等比数列的性质可得，， 由于与的等差中项为，则，则，， ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 14、1 【答案解析】 当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案． 【题目详解】 因为点的横坐标为1，即当时，， 所以或， 又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，， 所以， 故， 所以函数的关系式为． 当时，（1）， 即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得. 【题目详解】 解：， 所以应从分以上的试卷中抽取份. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查正态分布曲线，属于基础题. 16、 【答案解析】 变换得到，计算焦点得到答案. 【题目详解】 抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)见解析;(2). 【答案解析】 试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线的参数方程为（为参数） 又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则 联立直线与曲线：可得，则 即 18、（1）； （2）见解析. 【答案解析】 （1）代入得，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，， ，比较大小即可. 【题目详解】 （1）由于， 于是原不等式化为， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 综上所述，不等式解集为． （2）由已知条件， 对于，可得 ． 又， 由于， 所以． 又由于， 于是． 所以． 【答案点睛】 本