2023学年陕西省西安市交大附中高三六校第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．等比数列中，，则与的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C． D． 3．已知是虚数单位，若，则（ ） A． B．2 C． D．10 4．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，则等于（ ） A． B． C． D． 6．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 10．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是　　 A． B． C． D． 11．已知命题：，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 12．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________. 14．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线左支交于两点，，的内切圆的圆心的纵坐标为，则双曲线的离心率为________. 15．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为________. 16．已知，若，则________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标. 18．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（12分）中，内角的对边分别为，. （1）求的大小； （2）若，且为的重心，且，求的面积. 20．（12分）如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上. 21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立． 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：. （1）求与的极坐标方程 （2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案. 【题目详解】 如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上， ，故，， 设球半径为，则，解得，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 2、A 【答案解析】 利用等比数列的性质可得 ，即可得出． 【题目详解】 设与的等比中项是． 由等比数列的性质可得， ． ∴与的等比中项 故选A． 【答案点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 3、C 【答案解析】 根据复数模的性质计算即可. 【题目详解】 因为， 所以， ， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 4、B 【答案解析】 根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【题目详解】 ∵，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为，， ，∵， 所以在上单调递增. 又因为， 所以函数的零点所在的区间是. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题. 5、C 【答案解析】 先化简集合A，再与集合B求交集. 【题目详解】 因为，， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 6、D 【答案解析】 以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案. 【题目详解】 如图建系，则，，， 由，易得，则. 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7、A 【答案解析】 首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【题目详解】 由于为上的减函数，则有，可得， 所以当最小时，， 函数恰有两个零点等价于方程有两个实根， 等价于函数与的图像有两个交点． 画出函数的简图如下，而函数恒过定点， 数形结合可得的取值范围为． 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 8、A 【答案解析】 构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集. 【题目详解】 构造函数， 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到， 的定义域为，且， 所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称. 不等式等价于， 等价于，注意到， 结合图像关于对称和单调递增可知. 所以不等式的解集是. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题. 9、C 【答案解析】 转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解. 【题目详解】 函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象， 如图所示，可知 故选：C 【答案点睛】 本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 10、B 【答案解析】 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为， . 故选B 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 11、C 【答案解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【题目详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 12、C 【答案解析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出. 【题目详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以，，即， 所以直线的方程为.当直线的方程为， 联立，解得和，所以； 同理，当直线的方程为.，综上，或.选C. 【答案点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【题目详解】 根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示： 结合图中数据，计算它的体积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题． 14、2 【答案解析】 由题意画出图形，设内切圆的圆心为，圆分别切于，可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式，即可求得双曲线的离心率. 【题目详解】 设内切圆的圆心为，圆分别切于，连接， 则，故四边形为正方形，边长为圆的半径， 由，，得， 与重合， ，，即——① ，——② 联立①②解得：， 又因圆心的纵坐标为， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题. 15、 【答案解析】 根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【题目详解】 由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16、1 【答案解析】 由题意先求得的值，可得，再令，可得结论． 【题目详解】 已知， ，， ， 令，可得， 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 【答案解析】 利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可. 【题目详解】 因为，所以， 所以曲线的直角坐标方程为. 由，得， 所以曲线的普通方程为. 由，得， 所以（舍）， 所以， 所以曲线的交点坐标为. 【答案点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 18、（1）证明见解析 （2） 【答案解析】 (1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解. 【题目详解】 （1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且， 所以是正三角形，从而. 同理可证，， 所以平面. 又，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 易知，且为的中点，所以， 所以平面.