2023学年陕西省西安市华清中学高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．等比数列若则（ ） A．±6 B．6 C．-6 D． 3．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 4．函数在上为增函数，则的值可以是( ) A．0 B． C． D． 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ） 附：若，则，. A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544 8．设 ,则(  ) A．10 B．11 C．12 D．13 9．已知随机变量的分布列是 则（ ） A． B． C． D． 10．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是 A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0) 11．复数（　　） A． B． C．0 D． 12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，满足约束条件，则的最小值为__________. 14．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______. 15．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________. 16．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程． （3）已知分别在，处取得极值，求证：． 18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程； （2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求： ①点的极角； ②面积的取值范围. 19．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=, （1）求f(x)的最小值； （2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切，都有成立． 20．（12分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线． 21．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程. 22．（10分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【题目详解】 因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 2、B 【答案解析】 根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【题目详解】 由等比数列中等比中项性质可知，， 所以， 而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 3、B 【答案解析】 先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系. 【题目详解】 由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2， ∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上， ∴2n＝8，∴n＝3， ∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增， ∵，1＜lnπ＜3，n＝3， ∴， ∴a＜b＜c， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题. 4、D 【答案解析】 依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【题目详解】 当时，在上不单调，故A不正确； 当时，在上单调递减，故B不正确； 当时，在上不单调，故C不正确； 当时，在上单调递增，故D正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 5、C 【答案解析】 求出集合，计算出和，即可得出结论. 【题目详解】 ，，，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 6、D 【答案解析】 利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【题目详解】 已知，赋值法讨论的情况： （1）当时，令，，则，，排除B、C选项； （2）当时，令，，则，排除A选项. 故选：D. 【答案点睛】 比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 7、C 【答案解析】 根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【题目详解】 由题意，，，则，， 所以，. 故果实直径在内的概率为0.8185. 故选：C 【答案点睛】 本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【题目详解】 ∵f（x）， ∴f（5）＝f[f（1）] ＝f（9）＝f[f（15）] ＝f（13）＝1． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 9、C 【答案解析】 利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果. 【题目详解】 由分布列的性质可得，得，所以，， 因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 10、C 【答案解析】 求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解. 【题目详解】 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示． 令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3， 则结合图象可知，解得a∈[－3，0)， 故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 11、C 【答案解析】略 12、C 【答案解析】 利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直角三角形的斜边长为， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案. 【题目详解】 画出可行域易知在点处取最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题. 14、 【答案解析】 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值. 【题目详解】 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，设点， 空间中的动点满足，， 所以，整理得， ， 当，时，取最大值， 所以，三棱锥的体积为. 因此，三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15、 【答案解析】 根据渐近线得到，，计算得到离心率. 【题目详解】 ，一条渐近线方程为：，故，，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 16、. 【答案解析】 设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案． 【题目详解】 如图所示，设三棱锥的外接球为球， 分别取、的中点、，则点在线段上， 由于正方体的棱长为2， 则的外接圆的半径为， 设球的半径为，则，解得. 所以，， 则 而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆， 由于，所以， 因此，点所构成的图形的面积为. 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）证明见解析． 【答案解析】 （1）由的正负可确定的单调区间； （2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐