2023学年陕西省西安市蓝田县高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．复数满足 (为虚数单位),则的值是(　　) A． B． C． D． 3．设分别为的三边的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 5．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．若复数满足，则（ ） A． B． C．2 D． 7．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 9．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ） A． B． C． D．4 10．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A．2 B．4 C． D．8 11．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在点处的切线方程为______. 14．命题“”的否定是______． 15．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______. 16．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax. （1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)； （2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围； （3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值． 18．（12分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点． （1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程； （2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标． 19．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 24 （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望． 20．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点． （1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值； （2）求的取值范围． 21．（12分）已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2），，求实数的取值范围. 22．（10分）在中，、、的对应边分别为、、，已知，，. （1）求； （2）设为中点，求的长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值. 【题目详解】 依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 2、C 【答案解析】 直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【题目详解】 由得： 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 3、B 【答案解析】 根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解. 【题目详解】 根据题意,可得几何关系如下图所示: , 故选:B 【答案点睛】 本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题. 4、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 5、D 【答案解析】 利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值. 【题目详解】 根据题意，可知为等差数列，公差， 由成等比数列，可得， ∴，解得. ∴. 根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值. 6、D 【答案解析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【题目详解】 解：由题意知，， ， ∴， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 7、C 【答案解析】 根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【题目详解】 双曲线, 双曲线的渐近线方程为， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 8、A 【答案解析】 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 9、D 【答案解析】 模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论． 【题目详解】 ；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4. 故选：D． 【答案点睛】 本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论． 10、B 【答案解析】 根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 11、A 【答案解析】 先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围. 【题目详解】 由题意知sin，∴， ∴，随n的增大而增大，∴, ∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数的最小值为3. 【答案点睛】 本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 12、C 【答案解析】 由题意可知，代入函数表达式即可得解. 【题目详解】 由可知函数是周期为4的函数， . 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【题目详解】 令，，所以，又，所求切线方程为，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题. 14、， 【答案解析】 根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可. 【题目详解】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题， 则该命题的否定是：， 故答案为：，． 【答案点睛】 本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题． 15、 【答案解析】 取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【题目详解】 在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为， 连接.由，得，， 由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，, 又由已知可得平面平面，平面，， ，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径， 三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题. 16、 【答案解析】 根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2. 【答案解析】 （1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解． （2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究． （3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a≤，再利用导数求函数M(x)＝的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值． 【题目详解】 （1） f′(x)＝1－，x＞0， 令f′(x)＝0，则x＝1. 当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－lnt； 当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1. 综上，m(t)＝ （2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx， 不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0， 则由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2， 变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立． 令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0， 则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增， 故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立． 因为2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”， 所以a≤2－2. （3）因为f(x)≥