2023学年辽宁省沈阳市二十中学高三一诊考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 A．10 B．9 C．8 D．7 2．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ） A． B． C．16 D．32 5．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，，且，则（ ） A．3 B．3或7 C．5 D．5或8 8．等比数列若则（ ） A．±6 B．6 C．-6 D． 9．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 10．已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（ ） A．-4 B．-2 C．0 D．4 11．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A．若，，则或 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 12．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 14．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论: ①的值域为; ②; ③; ④ 其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 15．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________. 16．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（12分）已知函数. （1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围； （2）若函数的两个极值点为，，求的最小值. 19．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合， ． （Ⅰ）当，时，用列举法表示集合； （Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件： ①对任意，； ②． 证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）； （ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）； （Ⅲ）设，，，其中，，若，则． 20．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~． 21．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛. （1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率； （2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望. 22．（10分）已知直线与抛物线交于两点. （1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率； （2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值． 【题目详解】 由抛物线标准方程可知p=2 因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 所以 因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 ，此时 所以选B 【答案点睛】 本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题． 2、A 【答案解析】 求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【题目详解】 ，故， 所以曲线在处的切线方程为：. 令，则，故切线的纵截距为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题. 3、C 【答案解析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象， 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由，得， 函数在区间上单调递增，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题. 4、A 【答案解析】 几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A. 5、C 【答案解析】 根据偶函数的性质，比较即可. 【题目详解】 解： 显然，所以 是定义域为的偶函数，且在单调递增， 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 6、D 【答案解析】 利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果. 【题目详解】 由抛物线焦点在轴上，准线方程， 则点到焦点的距离为，则， 所以抛物线方程：， 设，圆，圆心为，半径为1， 则， 当时，取得最小值，最小值为， 故选D. 【答案点睛】 该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 7、B 【答案解析】 根据函数的对称轴以及函数值，可得结果. 【题目详解】 函数， 若，则的图象关于对称， 又，所以或， 所以的值是7或3. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 8、B 【答案解析】 根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【题目详解】 由等比数列中等比中项性质可知，， 所以， 而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 9、D 【答案解析】 弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素. 【题目详解】 因，所以，故，又， ，则， 故集合. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题. 10、B 【答案解析】 根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】 奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数， ，即，表示直线与轴截距的相反数， 根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键. 11、D 【答案解析】 根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解. 【题目详解】 选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确； 选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确； 选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确； 选项D，若，，有可能，故D不正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 12、D 【答案解析】 由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【题目详解】 ，，对应点为，在第四象限． 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求. 【题目详解】 解：的渐近线是 因为在渐近线上，所以 ， 故答案为： 【答案点睛】 考查双曲线的离心率的求法，是基础题. 14、② 【答案解析】 根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④. 【题目详解】 对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误； 对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确； 对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误； 对于④，由定义可知 ，所以④错误； 综上可知，正确的为②. 故答案为：②. 【答案点睛】 本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题. 15、20 【答案解析】 由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可. 【题目详解】 由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆 柱组合而成，其体积为. 故答案为：20. 【答案点睛】 本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题. 16、① 【答案解析】 由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②； 由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④． 【题目详解】 解：①在中，，故①正确； ②函数在区间上存在零点，比如在存在零点， 但是，故②错误； ③对于函数，若，满足， 但可能为奇函数，故③错误； ④函数与的图象，可令，即， 即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误． 故答案为：①． 【答案点睛】 本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）. 【答案解析】 （1）取的中