2023年高考数学一轮复习第四章第2节平面向量的基本定理及坐标表示高中数学.docx

第四章 第二节 平面向量的根本定理及坐标表示 题组一 平面向量根本定理及其应用 1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.假设＝a，＝b，那么＝ (　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：如以下图，由△DEF∽△BEA知 ＝＋＝a＋ ＝a＋(b－a) ＝a＋b. 答案：B 2．(2023·温州模拟)直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，那么m的取值范围是________． 解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb， ∴a与b不共线，即2m－3≠3m， ∴m≠－3. 答案：{m∈R|m≠－3} 3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，那么＝________(用a、b表示)． 解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b. 答案：－a＋b 题组二 平面向量的坐标运算 4.在三角形ABC中，A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，那么点C的坐标是 (　　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) 解析：设C(x，y)，那么D(，)，再由＝2得(0，－4)＝2(，)，∴4＋x＝0，－2＋y＝－4，即C(－4，－2)． 答案：B 5．假设α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，那么称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，那么a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为 (　　) A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2) 解析：由a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)， 设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)， 那么由⇒， ∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)． 答案：D 6．(2023·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表正确的选项是 (　　) 解析：＝λa＋μb＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)． ∵0≤λ≤μ≤1， ∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ. 答案：A 题组三 平行(共线)向量的坐标表示 7.(2023·北京高考)向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)．依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0， ∴k＝－1，又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向． 答案：D 8．向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，且a∥b，那么锐角θ等于 (　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°. 答案：B 9．a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值； (2)假设(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值． 解：(1)∵a＝xb＋yc， ∴(3,2)＝x(－1,2)＋y(4,1)＝(－x＋4y,2x＋y)． ∴解得 (2)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 且a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)， 2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)， ∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－. 题组四 平面向量根本定理及坐标表示的综合应用 10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(3,1)，B(－1，3)，假设点C满足|＋|＝|－|，那么C点的轨迹方程是 (　　) A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．3x－2y－11＝0 解析：由|＋|＝|－|知⊥，所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5. 答案：C 11．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，那么角C＝________. 解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， ∴a2＋b2－c2＝ab. ∴cosC＝＝，∴C＝60°. 答案：60° 12.如以下图，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标． 解：法一：设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)， 那么＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)， ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由，共线的充要条件知 (4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝. ∴＝(4t,4t)＝(3,3)． ∴P点坐标为(3,3)． 法二：设P(x，y)，那么＝(x，y)，＝(4,4)． ∵，共线，∴4x－4y＝0. ① 又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)， 且向量、共线． ∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0. ② 解①，②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)．