2023学年福建省龙海市程溪中学高三第二次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 2．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ） A．45 B．50 C．55 D．60 3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 A． B． C． D． 4．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D． 5．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( ) A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③ 6．函数的大致图象是 A． B． C． D． 7．已知随机变量的分布列是 则（ ） A． B． C． D． 8．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ） A．3 B． C．6 D． 9．已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 10．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 11．若集合，，则=（ ） A． B． C． D． 12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________． 14．已知函数为偶函数，则_____. 15．已知函数，则关于的不等式的解集为_______． 16．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数是自然对数的底数. （1）若，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:. 18．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点. （ⅰ）求面积最大值； （ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值. 19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值. 20．（12分）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围. 21．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图. 为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和. （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间 1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据 1975 2744 4515 5974 7111 （ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？ 附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 参考数据：其中，. 5.5 390 19 385 7640 31525 154700 100 150 225 338 507 22．（10分）已知不等式对于任意的恒成立. （1）求实数m的取值范围； （2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度. 【题目详解】 设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系： 因此有，设平面的法向量为，所以有 ，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 2、D 【答案解析】 根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数. 【题目详解】 根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题 3、A 【答案解析】 阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【题目详解】 因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：. 4、C 【答案解析】 由题意可知，代入函数表达式即可得解. 【题目详解】 由可知函数是周期为4的函数， . 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 5、C 【答案解析】 根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【题目详解】 根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确； 若，，平面可能相交，故②错误； 若，，则可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题. 6、A 【答案解析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【题目详解】 由题意可知函数为奇函数，可排除B选项； 当时，，可排除D选项； 当时，，当时，， 即，可排除C选项， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 7、C 【答案解析】 利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果. 【题目详解】 由分布列的性质可得，得，所以，， 因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 8、A 【答案解析】 根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果. 【题目详解】 由题可知：双曲线的渐近线方程为 取右焦点，一条渐近线 则点到的距离为，由 所以，则 又 所以 所以焦距为： 故选：A 【答案点睛】 本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题. 9、B 【答案解析】 由函数的奇偶性可得， 【题目详解】 ∵ 其中为奇函数，也为奇函数 ∴也为奇函数 ∴ 故选：B 【答案点睛】 函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数 10、C 【答案解析】 由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程. 【题目详解】 由题得 ① 又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2， 所以 ② 又 ③ 由①②③可得：，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力. 11、C 【答案解析】 试题分析：化简集合 故选C． 考点：集合的运算． 12、A 【答案解析】 基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【题目详解】 解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数， 其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个， 其和等于的概率． 故选：． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可. 【题目详解】 解: 因为椭圆,则焦点为, 又因为椭圆与双曲线（,）有相同的焦点, 椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且, 在椭圆中: 由椭圆的定义: 在双曲线中: , 所以双曲线的实轴长为: ,实半轴为 则双曲线的离心率为: . 故答案为: 【答案点睛】 本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题. 14、 【