2023学年辽宁省凌源市第三高级中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，是单位向量，若，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ） A．5 B． C．4 D．16 3．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）． A． B． C． D． 4．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ） A． B． C． D． 7．已知为等比数列，，，则（ ） A．9 B．－9 C． D． 8．函数的图像大致为（ ）. A． B． C． D． 9．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 10．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A． B． C． D． 12．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( ) A． B． C． D．0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____． 14．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____ 15．已知函数，则________；满足的的取值范围为________. 16．若满足约束条件，则的最大值为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）. 年份 年份代号 年利润（单位：亿元） （Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率. 参考公式：，. 18．（12分）设函数，其中． （Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 19．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面. （1）求证：平面平面； （2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 20．（12分）设函数，． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）时，若，，求证：． 21．（12分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为. 当时，求的值； 利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有. 22．（10分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【题目详解】 设，， 是单位向量，, ，， 联立方程解得：或 当时，； 当时，； 综上所述：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况. 2、C 【答案解析】 根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可. 【题目详解】 中,,由正弦定理得, 又, ∴,又,∴,∴,又, ∴.∵, ∴,∵,∴由余弦定理可得, ∴,可得. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 3、A 【答案解析】 先化简求出，即可求得答案. 【题目详解】 因为， 所以 所以 故选：A 【答案点睛】 此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目. 4、A 【答案解析】 根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题. 5、D 【答案解析】 由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝ln x相切时，k＝；结合图象即可得解. 【题目详解】 若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根， 则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图， 故点(1,0)在直线y＝kx－的下方． ∴k×1－＞0，解得k＞. 当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m， 则k＝＝，∴m＝. 此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件， 故所求k的取值范围是， 故选D.. 【答案点睛】 本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 6、D 【答案解析】 画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数． 【题目详解】 画出函数 令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个 故选：D 【答案点睛】 本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题． 7、C 【答案解析】 根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出. 【题目详解】 ∵,∴,又,可解得或 设等比数列的公比为,则 当时,, ∴； 当时, ,∴. 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 8、A 【答案解析】 本题采用排除法: 由排除选项D； 根据特殊值排除选项C; 由,且无限接近于0时, 排除选项B； 【题目详解】 对于选项D:由题意可得, 令函数 , 则,; 即.故选项D排除; 对于选项C：因为,故选项C排除; 对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除; 故选项:A 【答案点睛】 本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 9、D 【答案解析】 根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解. 【题目详解】 因为复数z满足， 所以， 所以z的虚部为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、A 【答案解析】 在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【题目详解】 在中，设，，， ，即，即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，，解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ，，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题. 11、B 【答案解析】 利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解. 【题目详解】 由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据复数除法的运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查复数的代数运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长． 详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则 ∵∠APB的大小恒为定值， ∴t＝，∴|OP|=． 故答案为 点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 14、5. 【答案解析】 由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【题目详解】 由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设, 当直线经过点时,取最大值5. 故答案为：5 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 15、 【答案解析】 首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得； 【题目详解】 解：因为， 所以， ∵， ∴当时，满足题意，∴； 当时，由， 解得.综合可知：满足的的取值范围为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题. 16、4 【答案解析】 作出可行域如图所示： 由，解得. 目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ），该公司年年利润的预测值为亿元；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）求出和的值，将表格中的数据代入最小