2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高三一诊考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，若，则实数的值是（　　） A．-1 B．7 C．1 D．1或7 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率 A． B． C． D． 3．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ） A． B． C． D． 4．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是　　 A． B． C． D． 5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ） A． B． C． D． 6．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 7．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( ) A． B． C． D．6 8．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 9．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论： ①②③④点为函数的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 10．下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A． B． C． D． 11．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ） A． B．2 C．4 D． 12．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）. 14．在中，，．若，则 _________． 15．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________. 16．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（12分）已知函数有两个极值点，. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 19．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 20．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体 （1）求证： （2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值； （3）若平面底面，求六面体的体积的最大值. 21．（12分）已知a＞0，证明：1． 22．（10分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式其中） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值. 【题目详解】 由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得 . ∴解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 2、B 【答案解析】 设，则，， 因为，所以．若，则，所以， 所以，不符合题意，所以，则， 所以，所以，，设，则， 在中，易得，所以，解得（负值舍去）， 所以椭圆的离心率．故选B． 3、D 【答案解析】 根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解. 【题目详解】 设， 所以 ， 因为当时，， 即， 所以，在上是增函数， 在中，因为，所以，， 因为，且， 所以， 即， 所以， 即 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4、B 【答案解析】 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为， . 故选B 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 5、C 【答案解析】 由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项. 【题目详解】 由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由,可知若,则必有, 故选:C 【答案点睛】 本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力. 6、C 【答案解析】 由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【题目详解】 因为函数和在递增，而在递减. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 7、C 【答案解析】 利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离. 【题目详解】 已知与分别为函数与函数的图象上一点， 可知抛物线存在某条切线与直线平行，则， 设抛物线的切点为，则由可得， ，所以切点为， 则切点到直线的距离为线段的最小值， 则. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 8、A 【答案解析】 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求. 【题目详解】 由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为, 所以每个等腰三角形的面积为, 所以圆的面积为,即, 所以当时,可得, 故选:A 【答案点睛】 本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 9、B 【答案解析】 首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得； 【题目详解】 解：由题意可得， 又∵和的图象都关于对称，∴， ∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，， ∴①③④正确，②错误. 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题. 10、C 【答案解析】 试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域． 11、C 【答案解析】 设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【题目详解】 圆可化为. 设， 则的斜率分别为， 所以的方程为，即， ，即， 由于都过点，所以， 即都在直线上， 所以直线的方程为，恒过定点， 即直线过圆心， 则直线截圆所得弦长为4. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 12、C 【答案解析】 作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值. 【题目详解】 解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【题目详解】 的展开式的通项公式为， 令，故，故的系数为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题. 14、 【答案解析】 分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果. 详解：根据题意，设，则，根据， 得，由勾股定理可得， 根据余弦定理可得， 化简整理得，即，解得， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果. 15、 【答案解析】 将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【题目详解】 如图所示，将正四面体补形成一个正方体， 则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球， 因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为， 设球的半径为，因为球的直径是正方体的对角线， 即，解得， 所