2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案曲线方程高中数学.docx

7.4曲线和方程 一、明确复习目标 1.理解曲线和方程的概念; 2.掌握求曲线方程的方法步骤. 二．建构知识网络 1. “曲线的方程〞、“方程的曲线〞的定义： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；〔纯粹性〕 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．〔完备性〕 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 2. 求曲线方程的一般步骤： 〔1〕建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； 〔2〕写出适合条件P的点M的集合； 〔3〕用坐标表示条件P〔M〕，列出方程f(x,y)=0; 〔4〕化方程f(x,y)=0为最简形式； 〔5〕证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述五步法中,假设④中化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，那么步骤⑤可省略.一般地要检验一下所求得的方程表示的曲线 是否与原曲线一致. 3．求曲线方程常用方法:直接法, 定义法,参数法,相关点法,待定系数法; 4.曲线交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 5．曲线C1:f1(x，y)=0和曲线C2:f2(x，y)=0那么 (1)过C1与C2交点(假设有)的曲线系方程为:f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)(不表示C2). (2)方程f1(x，y)f2(x，y)=0表示曲线C1和C2和并(集). 6.由方程画曲线(图形)的步骤： ①化简方程,讨论曲线性质(对称性,趋势等)； ②讨论曲线的范围；求截距,或用反解法求出x、y的取值范围; ③列表; ④描点、连线． 7. 解析几何的本质(2023上海高考题): 用代数的方法研究图形的几何性质,即: 根据条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质. 这也是解析几何中的两个根本问题。 三、双基题目练练手 1.曲线C的方程是f(x,y)=0, 点P(x0,y0)不在曲线C上，那么方程f(x,y)+f(x0,y0)=0表示的曲线与曲线C的关系是 ( ) A.有一个交点 B.有无穷多个交点 C.无交点 D.上述三种情况都有可能 2.方程表示的曲线形状是 ( ) A.直线2x+3y-5=0和直线x=4 B. 直线2x+3y-5=0和射线x=4 C. 直线2x+3y-5=0(x>3)和直线x=4 D. 直线2x+3y-5=0和曲线 3.(2023四川)两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( . ) A.π B.4π C.8π D.9π 4．(2023重庆)假设动点〔〕在曲线上变化，那么的最大值为 〔 〕 A． B． C． D．2 5.过定点A(a,b)的两直线 l1与 l2互相垂直,设l1交x轴于点M,l2交y轴于点N,那么线段MN的叫点P的轨迹方程是__________ 6. 垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程。 简答:1-4.CCBA； 5.解:设P(x,y),那么M(2x,0),N(0,2y),由AM⊥AN得方程2ax+2by-a2-b2=0. 6.解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),那么P(t2/2 +1, t), 设Q(x,y),那么有,消去t得：y2=16(x–) 四、经典例题做一做 【例1】画出方程log(1+y)x+log(1─y)x=2 log(1+y)x × log(1─y)x的曲线 解：x>0, 1+y>0, 1─y>0, 1+y¹1, 1─y¹1Þ─1<y<1,y¹0, x>0 (1)当x=1时，─1<y<1, y¹0; (2)当x>0,x¹1时 ∴ Þlogx(1─y2)=2Þx2+y2=1 (x>0, x¹1) 结合(1) (2)画出图形 ◆特别提示：要注意对曲线方程中变量的范围进行讨论. 【例2】⊙O方程为x2+y2=4，定点A〔4，0〕，求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹. 分析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程. 解法一：设动圆圆心为P〔x，y〕，因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径. 当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2； 当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2. 综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2. 将此关系式坐标化，得 |－|=2. 化简可得〔x－2〕2－=1. 解法二：由解法一可得动点P满足几何关系 ||OP|－|PA||=2， 即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点〔2，0〕，实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b==，所以轨迹方程为〔x－2〕2－=1. 提炼方法: 法1是直接法,把动点满足的几何条件转化为坐标表示; 法2是定义法,先定曲线类型(由曲线定义),再求有关参数.是一种常用方法. ③解直线和二次曲线交点问题时，要注意相交必有“Δ>0〞的条件。 【例3】(2023陕西)如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1] (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程 -1 O 1 2 x M D A E C B y 解法一: 如图， (Ⅰ)设D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y) 由=t， = t ， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2) ∴ 同理 ∴kDE = = = 1－2t ∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1] (Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1) =t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t) ∴ ， ∴y= ， 即x2=4y ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2] 即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2] 解法二: (Ⅰ)同上 (Ⅱ) 如图， =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t， = + = +t = +t(－) =(1－t) +t， = += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t2) + 2(1－t)t+t2 设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得 消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2] 故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2] ◆提炼方法：①参数法求主程的关键是合理选择参数，此题以决定动点的实数t为参数是显而易见的； ②参数法求方程的主要任务是消参，此题用代入消元法消去了两个参数x0,y0,在设点参数时，经常使用这种消元技巧 【例4】(2023北京) 如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域〔不含边界〕记为W，其左半局部记为W1，右半局部记为W2. 〔Ⅰ〕分别用不等式组表示W1和W2； 〔Ⅱ〕假设区域W中的动点P〔x，y〕到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程； 〔Ⅲ〕设不过原点O的直线l与〔Ⅱ〕中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别 交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合. 解：〔I〕 〔II〕直线由题意得 〔III〕当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为. 由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为〔a，0〕，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合. 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为 由 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合. 【研讨.欣赏】常数a>0，向量，经过定点A〔0，－a〕以为方向向量的直线与经过定点B〔0，a〕以为方向向量的直线相交于点P，其中 〔Ⅰ〕求点P的轨迹C的方程； 〔Ⅱ〕假设过E〔0，1〕的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围 解：〔Ⅰ〕设P点的坐标为〔x，y〕，那么 又 由题知向量与向量 又向量与向量 两方程联立消去参数，得点P〔x，y〕的轨迹方程是 〔Ⅱ〕∵，故点P的轨迹方程为 此时点E〔0，1〕为双曲线的焦点 ①假设直线l的斜率不存在，其方程为x=0， l与双曲线交于、， 此时 ②假设直线l的斜率存在，设其方程为化简得 ∵直线l与双曲线交于两点， ∴△ 设两交点为， 那么 此时 当 当 综上所述，的取值范围是 ◆提炼方法: 1.交轨法也是求轨迹方程的一种重要方法,具体过程是: (1).建立动直线(或曲线)的方程; (2).消去动直线(或曲线)方程中的参数,得到交点(即动点)坐标x,y的方程即为所求. 2.“设而不求〞是解题(2)的一个亮点.在解直线与圆锥曲线交点、弦长、斜率等问题时，利用韦达定理、中点公式作整体代换处理，是简洁高效化难为易的好方法。 3.以向量的形式给出题设,或用向量的方法求解解析几何问题,是一个新的命题方向,应多留心关注. 五．提炼总结以为师 1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验. 解题时应先对动点的形成过程进行分析，找出引起点“动〞的因素，探求几何关系，或建立参数方程,再求出动点坐标x,y的方程． 2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法. 3.如果能够确定动点的轨迹满足某种曲线的定义，那么可用曲线定义写出方程，这时用定义法. 4.如果轨迹动点P〔x，y〕依赖于某曲线上另一动点Q〔a，b〕变化，那么可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入曲线方程便得动点P的轨迹方程.此法称为代入法〔相关点法〕. 5.如果轨迹动点P〔x，y〕的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率或点的坐标为参数. 要注意参数的取值范围对方程的影响 6.处理涉及直线和二次曲线交点问题时，重视“设点不求〞，用韦达定理进行整体运算的方法和策略 同步练习 7.4曲线和方程 【选择题】 1.直线被抛物线截得线段中点到原点的距离是 ( ) A. B. C. D.29 2.直角坐标系内,到到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是 ( ) A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1 C.||x|-|y||=1 D.|x±y|=1 3．设曲线C对应的方程为F(x,y)=0, 命题甲为：点P的坐标适合方程F(x,y)=0； 命题乙为：点P在曲线C上； 命题丙为：点Q的坐标不适合方程F(x,y)=0; 命丁为：点Q不在曲线C上. 甲是乙的必要条件，但非充分条件，那么 〔 〕 A．丙是丁的充分条件，但非丁的必要条件 B．丙是丁的必要条件，但非丁的充分条件 C．丙是丁的充要条件 D．丙非丁的充分条件，也非丁的必要条件 【填空题】 4.假设动点P在y=2x