2023学年莱州一中高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为　　 A． B． C． D． 2．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A． B． C． D． 4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知实数满足约束条件，则的最小值是 A． B． C．1 D．4 9．空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ） A．这20天中指数值的中位数略高于100 B．这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占 C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好 D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10．已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________． 14．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______. 15．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为. （1）求关于的函数解析式； （2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？ 16．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量. 18．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下： 满意 不满意 男 40 40 女 80 40 （1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？ （2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下： 支付方式 现金支付 购物卡支付 APP支付 频率 10% 30% 60% 优惠方式 按9折支付 按8折支付 其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付 将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为，求的分布列和数学期望． 附表及公式：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于. （1）求证:平面平面； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积． 21．（12分）已知函数的最大值为，其中. （1）求实数的值； （2）若求证:. 22．（10分）已知，，求证： （1）； （2）. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值． 【题目详解】 设，，联立，得 则， 则 由，得 设，则 ， 则点到直线的距离 从而 ． 令 当时，；当时， 故，即的最小值为 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 2、C 【答案解析】 画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案． 【题目详解】 该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面， 作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD， 又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD， 所以平面平面， 同理可证：平面平面， 由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD， 所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对． 【答案点睛】 本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 3、C 【答案解析】 在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【题目详解】 两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、， 又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题. 4、D 【答案解析】 利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果. 【题目详解】 《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D． 【答案点睛】 本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 5、C 【答案解析】 设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【题目详解】 解：设，则的几何意义为点到点的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立； 取所有负值都成立； 当过点时，取正值中的最小值，，此时； 故的取值范围为； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在． 6、C 【答案解析】 由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论. 【题目详解】 解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解， 即有解，令，则， 则当时，；当时，， 故时，取得极大值，也即为最大值， 当趋近于时，趋近于，所以满足条件． 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题． 7、D 【答案解析】 根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解. 【题目详解】 ， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 最小值为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 8、B 【答案解析】 作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值， 由，解得，所以，所以，故选B． 9、C 【答案解析】 结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确. 【题目详解】 对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确. 对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确. 对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误. 对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确. 故选： 【答案点睛】 本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础. 10、A 【答案解析】 利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限. 【题目详解】 依题意，对应点为，在第一象限. 故选A. 【答案点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 11、C 【答案解析】 将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围. 【题目详解】 依题意 ， 则， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，； 而函数在上单调递减， 故， 则只需， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成