2023学年西北工业大学附属中学高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为，则圆周率（ ） A． B． C． D． 2．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（ ） A． B． C．2 D． 5．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知复数满足：，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A．斤 B． 斤 C．斤 D．斤 8．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．74 B．121 C． D． 9．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．若，则下列关系式正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 12．设则以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ． 14．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______. 15．在中，内角所对的边分别为， 若 ，的面积为， 则_______ ，_______． 16．的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点． （1）求抛物线的方程及点的坐标； （2）求的最大值． 19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 20．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：. 组别 频数 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额(单位：元) 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式：，若，则，， 21．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）设，求不等式的解集； （2）已知，且的最小值等于，求实数的值. 22．（10分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面 ,是的中点. （1）.求证:平面平面; （2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【题目详解】 由，∴. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题. 2、A 【答案解析】 分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【题目详解】 作出和，的图像如下所示： 函数有三个零点， 等价于与有三个交点， 又因为，且由图可知， 当时与有两个交点， 故只需当时，与有一个交点即可. 若当时， 时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵，故满足题意； 时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点，故不满足题意； 时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点，故不满足题意； 时，显然与有一个交点，故满足题意. 综上所述，要满足题意，只需. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题. 3、C 【答案解析】 作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【题目详解】 三棱锥的实物图如下图所示： 将其补成直四棱锥，底面， 可知四边形为矩形，且，. 矩形的外接圆直径，且. 所以，三棱锥外接球的直径为， 因此，该三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4、A 【答案解析】 由题意，可得，，消去得,可得，继而得到，代入即得解 【题目详解】 由，，成等差数列， 所以，又，，成等比数列， 所以，消去得， 所以，解得或， 因为，，是不相等的非零实数， 所以，此时， 所以． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 5、C 【答案解析】 令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值. 【题目详解】 令，得，即对称轴为. 函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知， 将以上各式相加得： 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式. 6、B 【答案解析】 转化，为，利用复数的除法化简，即得解 【题目详解】 复数满足： 所以 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 7、B 【答案解析】 依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果． 【题目详解】 设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，. 故选B 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8、D 【答案解析】 根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【题目详解】 因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 9、A 【答案解析】 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得. 【题目详解】 解：， ∴， 设， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 当时，，当，， 函数恒过点， 分别画出与的图象，如图所示， ， 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值， ∴且，即，且 ∴， 故实数m的最大值为， 故选：A 【答案点睛】 本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 10、D 【答案解析】 a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【题目详解】 令，， 作出图象如图， 由，的图象可知， ，，②正确； ，，有，①正确； ，，有，③正确； ，，有，④正确. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 11、A 【答案解析】 直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【题目详解】 由题意可知直线的方程为,不妨设. 则，且 将代入双曲线方程中，得到 设 则 由，可得，故 则，解得 则 所以双曲线离心率 故选：A 【答案点睛】 此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 12、A 【答案解析】 计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程. 【题目详解】 的中点坐标为：，圆半径为， 圆方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、-2 【答案解析】 试题分析：， 考点：等比数列性质及求和公式 14、 【答案解析】 先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果. 【题目详解】 抛物线的准线方程为， 由题意得，解得. ∵点在抛物线上， ∴，∴， 故答案为：. 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 15、 【答案解析】 由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，从而求得 ，结合范围，即可得到答案 运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案 【题目详解】 由已知及正弦定理可得 ，可得： 解得，即 ， 由面积公式可得：，即 由余弦定理可得： 即有 解得 【答案点睛】 本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案 16、3 -260 【答案解析】 (1)令求得所有项的系数和； (2)先求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项. 【题目详解】 将代入，得所有项的系数和为3. 因为的展开式中含的项为，的展开式中含常数项，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：3； -260 【答案点睛】 本题考查利用