2023学年营口市重点中学高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A． B． C． D． 2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）． 金牌 （块） 银牌 （块） 铜牌 （块） 奖牌 总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 30 38 27 23 88 A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势 B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义 C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降 D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 3．设集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D．2 5．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 6．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 9．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）． A． B． C．1 D． 10．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A．2 B．4 C． D．8 11．已知为虚数单位，实数满足，则 (　　 ) A．1 B． C． D． 12．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ） A．100 B．1000 C．90 D．90 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 14．抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个． 15．直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________ 16．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且； （2）若当时，不等式恒成立，求证：. 18．（12分）已知f(x)=|x +3|-|x-2| （1）求函数f(x)的最大值m； （2）正数a，b，c满足a +2b +3c=m，求证： 19．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且. （1）求证：； （2）设平面与交于点，求证：为的中点. 20．（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 21．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：为定值. 22．（10分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为. 当时，求的值； 利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【题目详解】 设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 2、B 【答案解析】 根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【题目详解】 A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误； B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确； C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误； D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确； 故选：B 【答案点睛】 此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目. 3、C 【答案解析】 由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【题目详解】 ，且，，. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 4、B 【答案解析】 结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【题目详解】 由，以及，解得. . 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 5、A 【答案解析】 由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率. 【题目详解】 解：设双曲线的半个焦距为，由题意 又，则，，，所以离心率， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 6、C 【答案解析】 将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解. 【题目详解】 已知圆， 所以其标准方程为：， 所以圆心为. 因为双曲线， 所以其渐近线方程为， 又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以. 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7、D 【答案解析】 “是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集. 【题目详解】 由题意知：可化简为，， 所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以. 【答案点睛】 利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解. 8、A 【答案解析】 先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值. 【题目详解】 的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为， 故. 令，，解得，. 因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴， 令，，故，， 因为，故，当时，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题． 9、B 【答案解析】 首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【题目详解】 解：根据三视图还原几何体如图所示， 所以，该四棱锥体的最长的棱长为． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 10、B 【答案解析】 根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 11、D 【答案解析】 ， 则 故选D. 12、A 【答案解析】 利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解 【题目详解】 由题意，支出在（单位：元）的同学有34人 由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为 ． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 如图，是切点，是的中点，因为，所以，又，所以，，又，根据双曲线的定义，有，即，两边平方并化简得，所以，因此. 14、2 【答案解析】 设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解. 【题目详解】 设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个. 故答案为:2 【答案点睛】 本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径. 15、 【答案解析】 根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解. 【题目详解】 如图所示，设， 由与相似，可得，解得， 再由与相似，可得，解得， 由三角形的面积公式，可得的面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 16、 【答案解析】 由题意得，二项式展开式的通项为， 令，则，所以得系数为． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）详见解析；（2）详见解析. 【答案解析】 （1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论； （2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立， 设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可. 【题目详解】 （1）， 令，则， 所以在区间上是增函数， 则，所以在区间上是增函数. 又因为， ， 所以在区间上有且仅有一个零点，且. （2）由题意，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 当时，； 当时，恒成立， 设（）， 所以. 由（1）可知，，使， 所以，当时，，当时，， 由此在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又因为， 所以，从而， 所以.令，， 则， 所以在区间上是增函数， 所以，故. 【答案点睛】 本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 18、（1）（2）见解析 【答案解析】 （1）利用绝对值三角不等式求得的最大值. （2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立. 【题目详解】 （1）由绝对值不等式性质得 当且仅当即时等号成立，所以 （2）由（1）得. 法1：由柯西不等式得 当且仅当时等号成立，