2023学年西安市第一中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中，项的系数为（ ） A．－23 B．17 C．20 D．63 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ） A． B． C． D． 5．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（ ） A．20 B．30 C．50 D．60 6．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（ ） A．128 B．65 C．64 D．63 8．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是 A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0) 9．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 10．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ） A．35 B．36 C．45 D．54 11．设 ,则(  ) A．10 B．11 C．12 D．13 12．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，，则_________. 14．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____. 15．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______． 16．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）若，，求的值； （2）若，求的值. 18．（12分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, . （1）证明:平面平面; （2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值. 19．（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004. （1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息； （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：. 20．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 21．（12分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明. 22．（10分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面. （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【题目详解】 的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【答案点睛】 本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 2、B 【答案解析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【题目详解】 由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的， 如图，故其表面积为， 故选：B. 【答案点睛】 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 3、A 【答案解析】 利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限. 【题目详解】 依题意，对应点为，在第一象限. 故选A. 【答案点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 4、C 【答案解析】 画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比. 【题目详解】 作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为. 故选： 【答案点睛】 解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题. 5、D 【答案解析】 先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【题目详解】 由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得， 则的面积为， 当最大时，的面积最大， 由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大， 又由，可得椭圆的上下顶点坐标为， 所以的面积的最大值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用. 6、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【题目详解】 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2， 又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 7、D 【答案解析】 根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求. 【题目详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是等比数列， 又因为， 所以， . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8、C 【答案解析】 求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解. 【题目详解】 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示． 令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3， 则结合图象可知，解得a∈[－3，0)， 故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 9、A 【答案解析】 首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间. 【题目详解】 当时，. 当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以 令，得，因为，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10、C 【答案解析】 由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出. 【题目详解】 正项等差数列的前项和， ， ， 解得或（舍）， ，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 11、B 【答案解析】 根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【题目详解】 ∵f（x）， ∴f（5）＝f[f（1）] ＝f（9）＝f[f（15）] ＝f（13）＝1． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 12、A 【答案解析】 首先求得平移后的函数，再根据求的最小值. 【题目详解】 根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数， 所以，所以．又，所以的最小值为． 故选：A 【答案点睛】 本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2 【答案解析】 由得，算出，再代入算出即可. 【题目详解】 ，，，，解得：， ，则. 故答案为：2 【答案点睛】 本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14、3 【答案解析】 在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解. 【题目详解】 设，， 则 ， 故. 故答案为：3 【答案点睛】 此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解. 15、 【答案解析】 根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值. 【题目详解】 由图可知：，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有. 16、 【答案解析】 由题意得出展开式中共有11项，；再令求得展开式中各项的系数和． 【题目详解】 由的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以； 令，可求得展开式中各项的系数和是： ． 故答案为：1． 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值. 【题目详解】 （1）在中，由余弦定理得， ，即， 解得或（舍），所以；