2023学年辽宁省丹东市第二中学高三第二次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b c 其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（ ） A． B． C． D． 2．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（ ） A． B． C． D． 3．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A． B． C． D． 4．函数在上为增函数，则的值可以是( ) A．0 B． C． D． 5．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( ) A． B． C． D． 7．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A．56383 B．57171 C．59189 D．61242 10．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列结论中正确的是 ①函数的最小正周期为； ②函数的图象是轴对称图形； ③函数的极大值为； ④函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 12．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ） A． B．4 C．2 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________. 14．若且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 15．过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________． 16．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，边上的中线，求的面积. 18．（12分）已知函数． （1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集； （2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围． 19．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏. （1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？ （2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望. 20．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面. （1）求证：平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论. 【题目详解】 由X的分布列可得X的期望为, 又, 所以X的方差 , 因为,所以当且仅当时,取最大值, 又对所有成立, 所以,解得, 故选:D. 【答案点睛】 本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题. 2、D 【答案解析】 由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解 【题目详解】 根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以. 故选：D 【答案点睛】 本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养 3、B 【答案解析】 根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 分别从3名男生、3名女生中选2人 ： 将选中2名女生平均分为两组： 将选中2名男生平均分为两组： 则选出的人分成两队混合双打的总数为： 和分在一组的数目为 所以所求的概率为 故选：B 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题. 4、D 【答案解析】 依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【题目详解】 当时，在上不单调，故A不正确； 当时，在上单调递减，故B不正确； 当时，在上不单调，故C不正确； 当时，在上单调递增，故D正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 5、B 【答案解析】 可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解 【题目详解】 设，则. 由题意有，所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 6、A 【答案解析】 由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【题目详解】 根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为， 所以 的周期为， 则， 所以， 由正弦函数和正切函数图象可知正确. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 7、C 【答案解析】 利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可 【题目详解】 令，则，，∴，，∴. 【答案点睛】 本题考查等差数列的求和问题，属于基础题 8、D 【答案解析】 利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【题目详解】 解：选项A中直线，还可能相交或异面， 选项B中，还可能异面， 选项C，由条件可得或． 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果. 【题目详解】 被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为的等差数列，记数列 则 令，解得. 故该数列各项之和为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查等差数列的应用，属基础题。 10、A 【答案解析】 根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程. 【题目详解】 解：由双曲线可知，焦点在轴上， 则双曲线的渐近线方程为：， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：， ∴， 即：，， 所以双曲线的渐近线方程为：. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程. 11、D 【答案解析】 因为，所以①不正确； 因为，所以， ，所以， 所以函数的图象是轴对称图形，②正确； 易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确； 因为，所以，所以函数的最小值为，④正确． 故选D． 12、B 【答案解析】 设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案. 【题目详解】 解：抛物线焦点，准线， 过作交于点，连接 由抛物线定义， ， 当且仅当三点共线时，取“＝”号， ∴的最小值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值. 【题目详解】 点在单位圆上，设， 由三角函数定义可知， 因为，则， 所以由同角三角函数关系式可得， 所以 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题. 14、 【答案解析】 将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围. 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以，所以或， 当时，对且不成立， 当时，取，显然不满足，所以， 所以，解得； 当时，取，显然不满足，所以， 所以，解得， 综上可得的取值范围是：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围. 15、.