2023学年贵州省湄潭县湄江高级中学高三下学期第六次检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B． C． D． 2．已知等差数列中，，则（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 3．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．集合，则（ ） A． B． C． D． 5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ） A． B． C． D． 6．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A．2 B．4 C． D．8 7．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ） A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8 8．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( ) A． B． C． D． 9．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ） A．2 B． C． D． 11．已知随机变量的分布列是 则（ ） A． B． C． D． 12．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．记为数列的前项和.若，则______. 14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 15．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________． 16．已知函数在处的切线与直线平行，则为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由. 18．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率. （1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望； （3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由. 19．（12分）已知函数是减函数. （1）试确定a的值； （2）已知数列，求证：. 20．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是. （1）求椭圆的标准方程. （2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 21．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由. 22．（10分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 ∵集合 ∴ ∵集合 ∴， 故选A 2、A 【答案解析】 设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可. 【题目详解】 设等差数列的公差为.由得,解得.所以. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题. 3、C 【答案解析】 试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以 ，故C为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 4、D 【答案解析】 利用交集的定义直接计算即可. 【题目详解】 ，故， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 5、B 【答案解析】 由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面是等腰直角三角形，平面,结合三视图求出每个面的面积即可. 【题目详解】 由三视图可知，该三棱锥如图所示： 其中底面是等腰直角三角形，平面, 由三视图知， 因为,, 所以, 所以, 因为为等边三角形， 所以, 所以该三棱锥的四个面中，最大面积为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 6、B 【答案解析】 根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 7、D 【答案解析】 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【题目详解】 样本的平均数是10，方差为2， 所以样本的平均数为,方差为. 故选:D. 【答案点睛】 样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为. 8、C 【答案解析】 根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【题目详解】 根据题意，，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力. 9、C 【答案解析】 根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值. 【题目详解】 由题意知，则其中，． 又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此． ①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去； ②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去； ③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立； 综上所得的最大值为． 故选:C 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 10、C 【答案解析】 将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案. 【题目详解】 解： ， 得， 则向量在上的投影为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题. 11、C 【答案解析】 利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果. 【题目详解】 由分布列的性质可得，得，所以，， 因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 12、C 【答案解析】 化简得到，得到答案. 【题目详解】 ，故，对应点在第三象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解． 【题目详解】 由，得，． 且， 则，即． 数列是以16为首项，以为公比的等比数列， 则． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14、0.35 【答案解析】 根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【题目详解】 解：由题意知本题是一个对立事件的概率， 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品， ， 抽到不是一等品的概率是， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题． 15、 【答案解析】 根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果. 【题目详解】 向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称 关于对称 即： 本题正确结果： 【答案点睛】 本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 16、 【答案解析】 根据题意得出，由此可得出实数的值. 【题目详解】 ，，直线的斜率为， 由于函数在处的切线与直线平行， 则. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）存在；常数，定值 【答案解析】 （1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程. （2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值. 【题目详解】 （1）解析：（1）设，， 由题可得 ，解得 又，即， 消去得： （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 设， 由可得： 由点到的距离为定值可得（为常数）即 得： 即 ， 又 为定值时，，此时，且符合 当直线的斜率不存在时，设直线方程为 由题可得，时，，经检验，符合条件 综上可知，存在常数，且定值 【答案点睛】 本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题. 18、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析 【答案解析】 （1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差； （2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望； （3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断. 【题目详解】 解：（1） （2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布， 则，， ，， 所以的分布列为：