2023年极值理论在风险价值度量中的应用.docx

极值实际在危险代价器量中的应用 1、弁言 自20世纪70年月以来，金融市场的动摇日益加剧，一些金融危急事情频仍发作，如 1987年的“玄色周末〞跟亚洲金融危急，这使金融羁系机构跟广阔的投资者对金融资产价 值的暴跌变得尤为敏感。金融资产收益率的尖峰、厚尾景象也使传统的正态散布假设遭到严 重的质疑，因而怎样无效地描写金融资产收益率的尾部特点， 给出其渐进散布方式，及种种 危险器量模子的精确估量方法跟相信区间， 险器量跟治理所面对的宏年夜应战。 依此制订投资战略，断定国度监控轨制，成为风 现在，对金融资产丧掉的估量方法要紧包含汗青模仿、 拟是一种最庞杂的方法，它应用丧掉的经历散布来近似实在散布， 察不到的数据进展外推，更不克不及捕捉金融资产收益序列的动摇率聚类景象， t散布等，再经过火布与样本的 参数方法跟非参数方法。汗青模 然而该方法不克不及对过来不雅 而遭到少量的批 评。参数方法假设收益契合某种特定的散布如：正态散布、 均值、方差的婚配对参数进展估量， 或许是假设收益契合某种特定的进程如： ARMA模子、 GARCH模子，该方法能够在必定水平上说明尖峰后尾景象跟动摇率聚类咨询题，存在比拟 好的全体拟跟后果。只是参数方法只能对曾经到来的灾害信息给出精确的估量， 对于马上到 来的灾害信息无奈给出精确的猜测， 因而对极其事情的估量缺少精确性。 非参数方法那么要紧 包含极值实际（EVT），该实际不研讨序列的全体散布状况，只关心序列的极值散布状况， 应用狭义帕累托散布（generalizedParetodistribution）或许狭义极值散布（generalizedextreme valuedistribution）来迫近丧掉的尾局部布状况。 DanielssonanddeVries（1997）以7支美国 EVT的表示比参数方法跟汗青模仿 股票形成的组合为样本比拟种种模子的表示状况，觉察 方法清楚的好。Longin（2022）以为极值实际的长处在于它的不假设特定的模子，而是让 数据自己去选择，而GARCH模子作为估量危险的一种方法，它只能反响事先的动摇率状况， 对于不预期到的变更缺少精确性。可怜的是， LeeandSaltoglu（2022）把EVT模子应用 到5个亚洲股票市场指数上，觉察表示令人特不不满意，而传统的方法虽然纷歧个在各个 但都比EVT模子的表示好。自己以为EVT模子之因而 市场表示根本上相对优于其余模子的， 在亚洲市场表示不行要紧是因为亚洲金融市场的数据存在非常强的序列相干跟前提异方差现 象，不克不及满意EVT模子请求的独破同散布假设。其余，JondeauandRockinger（1999），Rootzen andKluppelberg（1999），Neftci（2022），GilliandKellezi（2022）跟ChristoffersenandGoncalves （2022）也分不采纳极值道理跟其余模子对金融数据的尾部特点进展了剖析跟比拟。 本章在传统纯真采纳极值实际（假设被剖析数据是独破同散布的） 部特点的根底上，把ARMA－(Asymmetric)GARCH模子跟极值实际无机的联合起来。起首 应用ARMA－(Asymmetric)GARCH模子捕捉金融数据中的序列自相干（Correlation）跟异 方差（Heteroskedasticity）景象，应用GMM估量参数，取得近似独破同散布的残差序列， ARMA－(Asymmetric)GARCH模子挑选处理过的残差进展极 值剖析，在必定水平上克制了传统纯真采纳极值实际时， 描绘金融资产收益尾 再采纳传统的极值实际对经过 因为金融数据序列自相干跟动摇率 聚类景象不克不及满意极值实际假设所形成的估量偏差。其余，本章还采纳 Bootstrap的方法给 出了采纳极值实际估量出的 VaR跟ES在某一相信水平 下的相信区间改良了采纳似然比率 最初，咱们应用中国上证指数自 法估量相信区间时，因为极值事情的小样本所形成的偏差。 1990年12月19到2022年9月30日的对数日收益率进展实证研讨给出上证指数的 ES值，及相信区间。 VaR跟 2、VaR跟ES的不雅点： VaR（Value－at－Risk）是一种被普遍承受的危险器量东西， 2022年的巴塞耳委员会 指定VaR模子作为银行标准的危险器量东西。它能够界说为在必定的相信水平 p下，某一 资产或投资组合在将来特准时辰内的最年夜丧掉， 或许说是资产组合收益丧掉散布函数的分位 数点。假设X代表某一金融资产的收益，其密度函数为 f(x)，那么VaR能够表示为： VaRp inf{x|f(X x) (1 p)} （1） 1 1 当密度函数f(x)为延续函数是也能够写作： 称为分为数函数， VaRp F (p)，此中F 它被界说为丧掉散布 F(x)的反函数。该模子盘算庞杂，在证券组合丧掉 X契合正态散布， VaR模子只关心 组合中的证券数目不发作变更时，能够比拟无效的操纵组合的危险。然而 超越VaR值的频率，而不关心超越 VaR值的丧掉散布状况，且在处理丧掉契合非正态散布 （如后尾景象）及投资组合发作改动时表示不动摇，会呈现 VaR(X Y) VaR(X)VaR(Y) （2） 的景象，不满意Artzner（1999）提出了分歧性危险器量模子的次可加性。 ES(p)（Expectedshortfull）满意Artzner（1999）提出的次可加性、齐次性、枯燥性、平 p p p 移稳定性前提，是分歧性危险器量模子。它的界说如下：在给定的相信水平 p下，设X是 描绘证券组合丧掉的随机变量，F(x) P[X x]是其概率散布函数，令 1 能够表示为： F ( ) inf{x|F(x) }，那么ES((X) ) 1 1 p 1 ES(p)(X) F ()d （3） p 0 在丧掉X的密度函数是延续时， ES(p)能够庞杂的表示为：ESp E{x|F(x) (1 p)}。 本章将分不选用这两个模子来器量金融资产的危险， 方法跟相信区间。 给出在修改正的极值模子下， 其估量的 3.ARMA－(Asymmetric)GARCH模子 3.1ARMA－(Asymmetric)GARCH模子的性子 ARMA(p,q)模子： p q yt yt （4） i i j t j t i 1 j 1 2 此中， 是希冀为0，方差为常数 的独破同散布随机变量， ARMA(p,q)模子在可逆的 t 状况下能够表示为 AR()。该模子假设 y的前提希冀是可得的，前提方差为常数，平日可 t 以用来说明时辰序列的相干性， 并能够对时辰序列进展的短期猜测。 然而该模子前提方差为 常数的假设，使其无奈无效的说明在金融时辰序列中常常被不雅看到的动摇率聚类景象， 为此， 咱们需求在模子中进一步引入 GARCH模子。 2 ht 是 咱们令 0 1 zh，此中z是希冀为，方差为常数，的独破同散布随机变量， t t t t t 在t时辰的前提方差。这里咱们采纳平日应用的最庞杂的 GARCH(1,1)模子，那么前提方差可 2 2 2 2 以表示为： ht a0 a1 bh，GARCH(1,1)模子也能够表示成平方误 的方式： t 1 t 1 t 2 2 2 2 2 2 a0 (a1b) b( ht ) ( h) （5） t t 1 t 1 1 t t 2 2 2 的ARMA(1,1)。 此中E(( h)|Ft ) 0，因而GARCH(1,1)模子实质上是平方误 t t 1 t GARCH(1,1)模子的引入不只能够捕捉到金融时辰序列的动摇率聚类景象，并且能够在一 定水平上改良 z尖峰后尾景象，因为 t 4 4 4 4 Ezt E Ezt Eht t kh4 kz4 （6） 2 2 2 2 2 2 2 2 (E ) (Ez)(Eh) (Ez) t t t t 此中 k跟k分不表示h跟z的峰度，h的峰度清楚年夜于即是z的峰度。 h4 z4 t t t t 其余，在金融序列中咱们还能够清楚的不雅看到，动摇率正偏向变更与收益率负偏向变 动的相干性年夜于与收益率正偏向变更的相干性， 一种能够的说明是收益率的负偏向变更会加 年夜动摇幅度。而 GARCH(1,1)模子以为收益的正偏向变更跟负偏向变更对动摇率变更幅度 有着一样的阻碍，为了捕捉金融序列动摇率变更的这一错误称性， 咱们引入需求Glostenetal （1993）提出的非对称GARCH(1,1)模子： 2 2 2 2 bht ht a0 a1 asgn( 2 ) （7） t 1 t 1 t 1 1 0 x x 0 此中sgn( ，在那个模子中咱们经过 项来捕捉收益率 ) ) sgn(z) t asgn( 2 t t 1 1 0 的正负变更对动摇率变更的差异阻碍， 假设收益率的动摇与收益率动摇率的变更像咱们下面 所预期的那样，那么 a2 0。 如此咱们就掉掉了ARMA－(Asymmetric)GARCH模子 p q yt i yt i j t j t i 1 j 1 zht t （8） t 2 2 2 ht21 2 2 a0 (a1 asgn( 2 t 1 ) b) t 1 b( t 1 ) ( t h) t t 3.2、ARMA－(Asymmetric)GARCH模子的参数估量： 咱们明白在前提正态散布的假设下，能够非常轻易的应用 ARMA－(Asymmetric)GARCH )的估量值，此中)， p 模子的似然函数，给出参数向量 (a,a,a,b,, , ( , , 0 1 2 1 ( , , )。即便在金融收益率序列残差不满意前提正态散布的状况下， q 应用正态极年夜 1 似然估量法，依然能够掉掉参数 的分歧渐进正态非最小方差估量。 然而如此咱们掉掉的残 差 EVT尾部估量的输出变量，它的无效性将会 z将有非常年夜的偏差，而z是咱们下一步进展 t t 直截了当阻碍咱们全部的估量后果，为此咱们必需寻寻一个更无效的估量方法。 GMM（GeneralizedMethodofMoments）狭义矩估量恰恰能够满意咱们的请求，它不 需求假设 Skoglund（2022）“AsimpleefficientGMM z契合任何散布，只要求z的前提矩。在 t t estimatorofGARCHmodels〞给出了该估量方法的盘算进程跟收敛状况。下面给去估量的步 骤： 2 2 起首，界说一个行向量 是东西变 rt [ ,( h)]跟狭义向量 gt Ir，此中It t t t t t 量，那么参数 的GMM估量能够经过下式掉掉： T T 1 1 1 min[T g]WT[T g] （9） t t t 1 t 1 T 1 此中WT 是一个恰当的权重矩阵。 T Wt t 1 在NeweyandMcFadden（1994）中，咱们能够明白，无效的 GMM估量能够经过另 rt rt rt rt 1 1 1 ，W