2023学年衡阳市重点中学高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 2．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为，集合，则（ ） A． B． C． D． 5．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（　　） A．300， B．300， C．60， D．60， 6．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，，且，则（ ） A．3 B．3或7 C．5 D．5或8 8．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( ) 发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A．2 B．3 C．3.5 D．4 9．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．1 10．等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 11．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ） A．35 B．36 C．45 D．54 12．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______． 14．已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________ . 15．点到直线的距离为________ 16．已知，则________.(填“>”或“=”或“<”). 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线. 18．（12分）如图，在矩形中，，，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据： （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ② 参考数据：，，． 20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据： 处罚金额（单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率. （1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？ （2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？ 21．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，. （1）求； （2）若，点为边上一点，且，求的面积. 22．（10分）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项. 【题目详解】 依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 2、D 【答案解析】 根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【题目详解】 依题意有， ① ， ② ①②得，又因为， 所以，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 3、B 【答案解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2. 又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增， 又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0， 根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B. 4、A 【答案解析】 根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解. 【题目详解】 解：由函数得，解得，即； 又，解得，即， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题. 5、B 【答案解析】 由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率． 【题目详解】 由频率分布直方图得： 在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：， 行驶速度超过的频率为：． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6、D 【答案解析】 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果. 【题目详解】 ， 则， ， ，所以，函数的图象关于直线对称. 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，，即，解得或. ①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示： 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意； ②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点. 综上所述，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7、B 【答案解析】 根据函数的对称轴以及函数值，可得结果. 【题目详解】 函数， 若，则的图象关于对称， 又，所以或， 所以的值是7或3. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 8、C 【答案解析】 根据表中数据，即可容易求得中位数. 【题目详解】 由图表可知，种子发芽天数的中位数为， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查中位数的计算，属基础题. 9、C 【答案解析】 先将，化简转化为，再得到下结论. 【题目详解】 已知复数， 所以， 所以的虚部为-1. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 试题分析：由于在等比数列中，由可得：， 又因为， 所以有：是方程的二实根，又，，所以， 故解得：，从而公比； 那么， 故选D． 考点：等比数列． 11、C 【答案解析】 由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出. 【题目详解】 正项等差数列的前项和， ， ， 解得或（舍）， ，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 12、D 【答案解析】 根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解. 【题目详解】 如图， 因为为等腰三角形，， 所以，, ， 又， ， 解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值. 【题目详解】 第一次：x＝4，y＝11， 第二次：x＝5，y＝32， 第三次：x＝1，y＝14，此时14＞10×1＋3，输出x，故输出x的值为1． 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养. 14、 【答案解析】 根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论. 【题目详解】 由,，设的中点为， 根据题意，可得,且， 解得，,，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题. 15、2 【答案解析】 直接根据点到直线的距离公式即可求出。 【题目详解】 依据点到直线的距离公式，点到直线的距离为。 【答案点睛】 本题主要考查点到直线的距离公式的应用。 16、 【答案解析】 注意到，故只需比较与1的大小即可. 【题目详解】 由已知，，故有.又由， 故有. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1