2023学年福建省福州第四中学高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 2．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 4．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( ) A．； B．； C．； D．； 5．若复数，则（ ） A． B． C． D．20 6．集合,则集合的真子集的个数是 A．1个 B．3个 C．4个 D．7个 7．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ） A． B． C． D． 9．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ） A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差 10．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（ ） A．“若，则”的否命题是“若，则” B．“若，则”的逆命题为真命题 C．，使成立 D．“若，则”是真命题 12．已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______． 14．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______. 15．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________. 16．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O. （1）求证：OE∥平面PBC； （2）求三棱锥E﹣PBD的体积. 18．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值. 20．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下： 来A城市发展的理由 人数 合计 自然环境 1.森林城市，空气清新 200 300 2.降水充足，气候怡人 100 人文环境 3.城市服务到位 150 700 4.创业氛围好 300 5.开放且包容 250 合计 1000 1000 （1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人； （2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率； （3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？ 自然环境 人文环境 合计 男 女 合计 附：，. P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21．（12分）已知函数，. (1)求的值； (2)令在上最小值为，证明：. 22．（10分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【题目详解】 ， 若，， 在单调递增，且， 在不存在零点； 若，， 在内有且只有一个零点， . 故选:A. 【答案点睛】 本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题. 2、A 【答案解析】 在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【题目详解】 在中，设，，， ，即，即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，，解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ，，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题. 3、B 【答案解析】 由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果. 【题目详解】 由题意知：定义域为， ，为偶函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，则在上单调递减， 由得：，解得：或， 的取值范围为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 4、A 【答案解析】 要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②. 【题目详解】 因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A. 【答案点睛】 本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键. 5、B 【答案解析】 化简得到，再计算模长得到答案. 【题目详解】 ，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 6、B 【答案解析】 由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由题意，集合， 则， 所以集合的真子集的个数为个，故选B． 【答案点睛】 本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 7、C 【答案解析】 将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得. 【题目详解】 将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作： 则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为， 由中位线定理可得且， 所以即为与直线所成的角， ， 由余弦定理可得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 8、B 【答案解析】 ∵ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选B 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 9、C 【答案解析】 根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【题目详解】 根据雷达图得到如下数据： 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 甲 4 5 4 5 4 5 乙 3 4 3 3 5 4 由数据可知选C. 【答案点睛】 本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识. 10、A 【答案解析】 将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【题目详解】 解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同， ∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为， 设球的半径为， 则，解得， 所以， 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 11、D 【答案解析】 选项A，否命题为“若，则”，故A不正确． 选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确． 选项C，由题意知对，都有，故C不正确． 选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确． 选D． 12、C 【答案解析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案. 【题目详解】 双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，