2023学年福建省三明市重点中学高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( ) A． B． C． D． 2．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断： ①直线是函数图象的一条对称轴； ②点是函数的一个对称中心； ③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为. 其中正确的判断是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．已知复数，若，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 4．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A．9 B．27 C．81 D． 5．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ） A．2 B．3 C． D． 7．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大 C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元 8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 9．设，随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A．减小，减小 B．减小，增大 C．增大，减小 D．增大，增大 10．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________． 14．等边的边长为2，则在方向上的投影为________． 15．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________ 16．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知为等差数列，为等比数列，的前n项和为，满足，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）令，数列的前n项和，求. 18．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足. （1）求矩阵; （2）求矩阵的特征值． 20．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且． 证明：直线与圆相切； 求面积的最小值． 21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形． （1）求点，的极坐标； （2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值． 22．（10分）已知，且满足，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【题目详解】 根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 2、C 【答案解析】 分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为为对称中心，且最低点为， 所以A=3，且 由 所以，将带入得 ， 所以 由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与 有6个交点，设各个交点坐标依次为 ，则，所以③正确 所以选C 点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题． 3、D 【答案解析】 由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：. 本题选择D选项. 4、A 【答案解析】 根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值. 【题目详解】 设等比数列的公比为q. 由，得，解得或. 因为.且数列递增，所以. 又，解得， 故. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5、B 【答案解析】 由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键． 6、B 【答案解析】 运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值. 【题目详解】 起始阶段有，， 第一次循环后，， 第二次循环后，， 第三次循环后，， 第四次循环后，， 所有后面的循环具有周期性，周期为3， 当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型. 7、D 【答案解析】 直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 由图可知月收入的极差为，故选项A正确； 1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确； 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 8、A 【答案解析】 本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可． 【题目详解】 结合题意，绘制图像 要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A． 【答案点睛】 本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等． 9、C 【答案解析】 ，，判断其在内的单调性即可． 【题目详解】 解：根据题意在内递增， ， 是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 10、C 【答案解析】 分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在中，因为， 所以，因为， 所以，， 结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为， 所以，即，所以， 因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形， 所以充分性不满足， 反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D. 点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 11、A 【答案解析】 由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【题目详解】 解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 12、B 【答案解析】 根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解. 【题目详解】 易知，且 故有，则 故选：B 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、0或6 【答案解析】 计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案. 【题目详解】 ，即，圆心，半径. ，故圆心到直线的距离为，即，故或. 故答案为：或. 【答案点睛】 本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。 14、 【答案解析】 建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可. 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，， 则：，， 且，， 据此可知在方向上的投影为. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15、8 11 【答案解析】 画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值. 【题目详解】 不等式组表示的平面区域如下图所示： 数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为， 故区域面积； 令，变为， 显然直线过时，z最大，故. 故答案为：；11. 【答案点睛】 本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题. 16、 【答案解析】 利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【题目详解】 解：设点，，其中， ， 由，，， 可设 ， 导数为， 由，可得 ， 可得或， 由 ，， 可得，即，可得， 由可得函数递减；由，可得函数递增， 可得时，函数取得最小值，且为， 则的最小值为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），；（2）． 【答案解析】 （1）设的公差为，的公比为，由基本量法列式求出后可得通项公式； （2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和． 【题目详解】 （1）设的公差为，的公比为，由，.得： ，解得， ∴，； （2）由，得， 为奇数时，，为偶数时，， ∴ ． 【答案点睛】 本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前项和公式，求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前项和公