2023年创新方案高考数学复习精编人教新课标51数列的概念与简单表示法doc高中数学.docx

第五章 第一节 数列的概念与简单表示法 题组一 由数列的前n项求数列的通项公式 1.数列、、2、…，那么2是该数列的 (　　) A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项 解析：原数列可写成、、，…. ∵2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7. 答案：B 2．以下关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 (　　) A．an＝n2－n＋1 B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析：从图中可观察星星的构成规律， n＝1时，有1个；n＝2时，有3个； n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；… ∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 答案：C 3．n个连续自然数按规律排成下表： 0　　 3　→　 4　　 7　→　 8　　11　… ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1 → 2 5 → 6 9 → 10 根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为 (　　) A．↓→　　　　　　　　　　　B．→↑ C．↑→ D．→↓ 解析：观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2 009＝4×502＋1，故2 009在箭头↓的下方，从而2 009与2 010之间是箭头→，2 010与2 011之间是箭头↑. 答案：B 题组二 由an与Sn的关系求通项公式 4.(2023·福州模拟)数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，那么k＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：an＝ ＝ ∵n＝1时适合an＝2n－10， ∴an＝2n－10. ∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8， ∴＜k＜9. 又∵k∈Nx，∴k＝8. 答案：B 5．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N)． (1)求{an}的通项公式； (2)当n为何值时，Sn到达最大？最大值是多少？ 解：(1)n＝1时，a1＝S1＝23； n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋25. 经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25(n∈N)． (2)法一：∵Sn＝－n2＋24n＝－(n－12)2＋144， ∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144. 法二：∵an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25＞0，有n＜， ∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144. 题组三 由an与an＋1(或an－1)的关系求通项公式 6.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，那么an＝ (　　) A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn 解析：法一：由，an＋1－an＝ln，a1＝2， ∴an－an－1＝ln， an－1－an－2＝ln， …… a2－a1＝ln， 将以上n－1个式子累加得： an－a1＝ln＋ln＋…＋ln ＝ln(··…·)＝lnn， ∴an＝2＋lnn. 法二：由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D； 由a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln3，排除B. 答案：A 7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈Nx)，那么a1 000＝ (　　) A．5 B．－5 C．1 D．－1 解析：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈Nx)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1 000＝－1. 答案：D 8．根据以下各个数列{an}的首项和根本关系式，求其通项公式． (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)． 解：(1)∵an＝an－1＋3n－1， ∴an－1＝an－2＋3n－2， an－2＝an－3＋3n－3， … a2＝a1＋31. 以上(n－1)个式子相加得 an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1 ＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. (2)∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2， … a2＝a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1··……＝＝. 题组四 数列的函数性质及综合应用 9.数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是 (　　) A．an＞an＋1 B．an＜an＋1 C．an＝an＋1 D．与n的取值有关 解析：＝÷＝＝＜1，∵an＋1＞0，∴an＜an＋1. 答案：B 10．(2023·温州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数〞，数列a1，a2，…，a501的“理想数〞为2023，那么数列2，a1，a2…，a501的“理想数〞为 (　　) A．2022 B．2006 C．2023 D．2023 解析：∵a1，a2，…，a501的“理想数〞为2023， ∴＝2023， ∴2，a1，a2…，a501的理想数为 ＝ ＝2＋ ＝2＋4×501＝2023. 答案：B 11．(文)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈Nx)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，那么S21＝________. 解析：a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…， 知数列为周期数列，周期T＝2，a1＋a2＝， ∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝. 答案： (理)函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，那么a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________. 解析：当n为奇数时，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，当n为偶数时，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1， ∴an＝(－1)n(2n＋1)， ∴a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋…－199＋201＝2×50＝100. 答案：100 12．Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈Nx)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)(理)假设bn＝n()an，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小． 解：(1)由Sn＝a＋an(n∈Nx)可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝＋a， ① Sn－1＝＋a， ② ①－②即得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. (3)(理)由(2)知an＝n，那么bn＝n()an＝， 故Tn＝＋2×()2＋…＋n()n， ① Tn＝()2＋2×()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1， ② ①－②得： Tn＝＋()2＋…＋()n－n()n＋1＝1－， 故Tn＝2－， ∴Tn＋1－Tn＝＞0， ∴Tn随n的增大而增大． 当n＝1时，T1＝；当n＝2时，T2＝1； 当n＝3时，T3＝＝＞，所以n≥3时，Tn＞. 综上，当n＝1,2时，Tn＜；当n≥3时，Tn＞.