2023学年福建省福州市闽侯第六中学高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 2．在中，，则=（ ） A． B． C． D． 3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ） A． B． C． D． 4．已知是虚数单位，若，，则实数（ ） A．或 B．-1或1 C．1 D． 5．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ） A．4 B． C． D． 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ） A． B． C． D． 8．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82 95 90 93 90 85 80 77 99 68 如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ） A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8 10．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ） A． B． C． D．1 11．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，则______. 14．设复数满足,则_________. 15．已知数列的前项满足，则______. 16．已知向量，且，则___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 18．（12分）在中，，， .求边上的高. ①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 19．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，． （1）若，求证：⊥； （2）若二面角的大小为，求线段的长． 20．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05 若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？ 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过2小时 每周平均体育锻炼时间超过2小时 总计 附：K2. P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 21．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点. （1）已知点在棱上，且平面平面，试确定点的位置并说明理由； （2）设点是线段上的动点，当点在何处时，直线与平面所成角最大？并求最大角的正弦值. 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【题目详解】 根据三视图还原几何体的直观图如下图所示： 由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体， 该几何体的体积为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 2、B 【答案解析】 在上分别取点,使得, 可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案． 【题目详解】 如下图，，在上分别取点,使得, 则为平行四边形，故,故答案为B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 3、B 【答案解析】 根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【题目详解】 解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示， 用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题． 4、B 【答案解析】 由题意得，，然后求解即可 【题目详解】 ∵，∴.又∵，∴，∴. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，属于基础题 5、C 【答案解析】 根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解. 【题目详解】 因为表示圆， 所以，解得， 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 即 ， 解得， 此时， 因为，在递增， 所以的最大值. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6、B 【答案解析】 由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【题目详解】 设球的半径为，，， 由，得． 如图： 设三角形的外心为，连接，，， 可得，则． 在中，由正弦定理可得：， 即， 由余弦定理可得，， ． 则三棱锥的体积的最大值为． 故选：． 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 7、B 【答案解析】 由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可 【题目详解】 因为，又依题意知的值域为，所以 得，， 所以，令，得，则的图象的对称中心为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 8、D 【答案解析】 根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值. 【题目详解】 由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 9、D 【答案解析】 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【题目详解】 样本的平均数是10，方差为2， 所以样本的平均数为,方差为. 故选:D. 【答案点睛】 样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为. 10、B 【答案解析】 根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值. 【题目详解】 根据题意,设, 则 由代入可得 即点的轨迹方程为 又因为,变形可得,即,且 所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示: 所以的最小值即为到直线的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值 设切线的方程为,化简可得 由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得 即 所以切线方程为或 所以当变化时, 到直线的最大值为 即的最大值为 故选:B 【答案点睛】 本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 11、C 【答案解析】 不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案. 【题目详解】 不妨设在第一象限，故，，即， 即，解得，（舍去）. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 12、A 【答案解析】 根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果. 【题目详解】 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称 又在上是增函数 在上是减函数 ，即 对于恒成立 在上恒成立 ，即的取值范围为： 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值. 【题目详解】 向量, 则, 则 因为 即,化简可得 解得 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题. 14、. 【答案解析】 利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果. 【题目详解】 ∵复数满足， ∴，∴， 故而可得，故答案为. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．