2023学年福建省长汀一中等六校高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 4．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．1 5．当时，函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C．或 D． 8．函数的一个单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 9．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A． B． C． D． 10．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 12．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________． 14．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______． 15．设的内角的对边分别为，，．若，，，则_____________ 16．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为. （1）求椭圆E的标准方程， （2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值. 18．（12分）已知. （1）若，求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，． （1）求证：平面ACD； （2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值． 20．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率， （3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 21．（12分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）若的解集为，，求证：． 22．（10分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【题目详解】 因为圆心，半径，直线与圆相交，所以 ，解得 所以相交的概率,故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 2、D 【答案解析】 由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部. 【题目详解】 由zi＝1﹣i，∴z＝ ，所以共轭复数=-1+，虚部为1 故选D． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题． 3、D 【答案解析】 从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D. 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 4、C 【答案解析】 先将，化简转化为，再得到下结论. 【题目详解】 已知复数， 所以， 所以的虚部为-1. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5、B 【答案解析】 由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 6、A 【答案解析】 根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【题目详解】 解：设点到平面的距离为，因为是中点， 所以到平面的距离为， 三棱锥的体积，解得， 作平面，垂足为的外心，所以，且， 所以在中，，此为球的半径， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题． 7、D 【答案解析】 先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论. 【题目详解】 ， 若在上不单调，令， 则函数对称轴方程为 在区间上有零点（可以用二分法求得）. 当时，显然不成立； 当时，只需 或，解得或. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 8、D 【答案解析】 利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项. 【题目详解】 因为 ，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识. 9、A 【答案解析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【题目详解】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A． 【答案点睛】 本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 10、B 【答案解析】 由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像. 【题目详解】 函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值， 当时，；当时，；当时，. 时，，时，， 当或时，；当时，. 故选： 【答案点睛】 根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 11、B 【答案解析】 由函数的奇偶性可得， 【题目详解】 ∵ 其中为奇函数，也为奇函数 ∴也为奇函数 ∴ 故选：B 【答案点睛】 函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数 12、C 【答案解析】 当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【题目详解】 当时，，得；最多一个零点； 当时，， ， 当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意； 当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点， 如图： 且， 解得，，． 故选． 【答案点睛】 遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a， 求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解， 【题目详解】 不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4， 平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示： 由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A）， 设棱长为a， ， 顶点D到面ABC的距离为 所以， 由余弦定理得： ， 所以，所以， 又顶点A到面EDF的距离为， 所以， 因为， 所以， 解得， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题， 14、 【答案解析】 令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解. 【题目详解】 令， 则得， 解得， 所以展开式中含项为：， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题. 15、或 【答案解析】 试题分析：由，则可运用同角三角函数的平方关系：， 已知两边及其对角，求角．用正弦定理；， 则；可得． 考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断） 16、 【答案解析】 确定函数的定