2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案导数的概念与运算高中数学.docx

11.3导数概念与运算 一、明确复习目标 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记根本导数公式； 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么; 5.了解复合函数的求导法那么.会求某些简单函数的导数. 二．建构知识网络 1．导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比〔也叫函数的平均变化率〕有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作 ； 2．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点〔x0，y0〕处的切线的斜率，即斜率为f′(x0). 过点P的切线方程为：y- y0= f′(x0) (x- x0). 3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f′(x0)，从而构成了一个新的函数f′(x0), 称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导. 4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导 函数y=f(x)在点x0处连续. 5.依定义求导数的方法： 〔1〕求函数的改变量 〔2〕求平均变化率 〔3〕取极限，得导数＝ 6．几种常见函数的导数： (C为常数)；()；；；；；；。 7．导数的四那么运算法那么： ；； ； 8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，那么复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或=f′(u) ′(x). 9.求导数的方法: (1)求导公式; (2)导数的四那么运算法那么; (3)复合函数的求导公式; (4)导数定义. 三、双基题目练练手 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点〔1,2〕及邻近一点〔1+Δx,2+Δy〕,那么为〔 〕 A.Δx++2 B.Δx－－2 C.Δx+2 D.2+Δx－ 2.设f〔x〕=ax3+3x2+2,假设f′〔－1〕=4,那么a的值等于 〔 〕 A. B. C. D. 3．(2023湖南)设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，那么f2023(x)＝ 〔 〕 A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx　 D．－cosx 4.(2023湖南)设函数, 集合, 假设, 那么实数的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 5. (2023全国Ⅰ)设函数 假设是奇函数，那么__________ 6．设函数假设该函数在实数集R上可导，那么该函数的最小值是____． 7.(2023北京)过原点作曲线的切线，那么切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，那么数列的前n项和的公式是　 　 简答:1－4.CDCC； 5. ； 6. 答案: －. 依题意 作图易得函数的最小值是f()＝－ 7. 〔1，e〕 e； 8. 2n+1-2. 四、经典例题做一做 【例1】求以下函数的导数： 〔1〕y= 〔2〕y=ln〔x＋〕; 〔３〕y=; 解: 〔1〕y′= = = 〔2〕y′=·〔x＋〕′ =〔1＋〕= 〔３〕y′== ◆提炼方法：题〔1〕是导数的四那么运算法那么；題〔2〕〔3〕是复合函数的求导方法.都是导数问题的根底. 【例2】〔1〕求曲线在点〔1，1〕处的切线方程； 〔2〕运动曲线方程为，求t=3时的速度 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数 　　解：〔1〕， 　　，即曲线在点〔1，1〕处的切线斜率k=0 　　因此曲线在〔1，1〕处的切线方程为y=1 　　〔2〕 　　 　　 解题点评:切线是导数的“几何形象〞,是函数单调性的“几何〞解释,要熟练掌握求切线方程的方法. 【例3】假设f〔x〕在R上可导，〔1〕求f〔－x〕在x=a处的导数与f〔x〕在x=－a处的导数的关系；〔2〕证明：假设f〔x〕为偶函数，那么f′〔x〕为奇函数. 分析:〔1〕需求f〔－x〕在x=a处的导数与f〔x〕在x=－a处的导数；〔2〕求f′〔x〕，然后判断其奇偶性. 〔1〕解:设f〔－x〕=g〔x〕,那么 g′〔a〕= = =－=－f′〔－a〕 ∴f〔－x〕在x=a处的导数与f〔x〕在x=－a处的导数互为相反数. 〔2〕证明:f′〔－x〕= = =－=－f′〔x〕 ∴f′〔x〕为奇函数. 解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致. 【例4】〔2023浙江〕函数＝x3+x2，数列 { xn } 〔xn > 0〕的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过〔0，0〕和〔xn，f〔xn〕〕两点的直线平行〔如图〕。求证：当n时： 〔I〕；〔II〕 证明：〔I〕∵ ∴曲线在处的切线斜率 ∵过和两点的直线斜率是 ∴. 〔II〕∵函数当时单调递增， 而 ， ∴，即 因此 又∵ 令那么 ∵ ∴ 因此 故 考查知识：函数的导数、数列、不等式等根底知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。 五．提炼总结以为师 1． 了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题； 2． 会用定义式求导数； 3． 了解导数的几何意义；会求切线方程； 4． 掌握常见函数的导数公式，并会正确运用； 5． 掌握导数的四那么运算法那么及复合函数的求导法那么。 同步练习 11.3导数概念与运算 【选择题】 1.设函数f〔x〕在x=x0处可导,那么 〔 〕 A与x0,h都有关 B仅与x0有关而与h无关 C仅与h有关而与x0无关 D与x0、h均无关 2.函数f〔x〕在x=1处的导数为3,那么f〔x〕的解析式可能为 〔 〕 Af〔x〕=〔x－1〕2+3〔x－1〕 Bf〔x〕=2〔x－1〕 Cf〔x〕=2〔x－1〕2 Df〔x〕=x－1 3．(2023湖北)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 〔 〕 A．3 B．2 C．1 D．0 4.(2023安徽)假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为〔 〕 A． B． C． D． 【填空题】 5. 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 ________ 6．过点〔0，－4〕与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 ． 7. 设f〔x〕在x=1处连续，且f〔1〕=0,=2,那么f′〔1〕=_______ 8.曲线y=2－x2与y=x3－2在交点处的切线夹角是__________〔以弧度数作答〕 简答.提示：1－4.BADA；5. 1，2，4秒末； 6．y＝4x－4；7.∵f〔1〕=0, =2, ∴f′〔1〕= = ==2 8.由消y得：〔x－2〕〔x2+4x+8〕=0,∴x=2 ∵y′=〔2－x2〕′=－x,∴y′|x=2=－2 又y′=〔－2〕′=x2,∴当x=2时,y′=3 ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, ||=1 ∴夹角为 【解答题】 9．以下函数的导数 ① ② ③f〔x〕=e－x〔cosx+sinx〕 分析：利用导数的四那么运算求导数 ①法一： ∴ 法二： =+ ② ∴ ③f/(x)=－e－x〔cosx+sinx〕+e－x〔－sinx+cosx〕 =－2e－xsinx, 10． 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程． 解：切线与直线平行， 斜率为4 又切线在点的斜率为 ∵ ∴ 或 ∴切点为〔1，-8〕或〔-1，-12〕 切线方程为或 即或 11．(2023福建) 函数 的图象过点P〔0，2〕，且在点M〔－1，f〔－1〕〕处的切线方程为． 〔Ⅰ〕求函数y=f(x)的解析式； 〔Ⅱ〕求函数y=f(x)的单调区间． 解：〔Ⅰ〕由f(x)的图象经过P〔0，2〕，知d=2， 所以 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知 故所求的解析式是 〔Ⅱ〕 解得 当 当 故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数． 考查知识：函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 12. 证明：过抛物线y=a〔x－x1〕·〔x－x2〕〔a≠0，x1<x2〕上两点A〔x1，0〕、B〔x2，0〕的切线，与x轴所成的锐角相等. 解：y′=2ax－a〔x1+x2〕， y′|=a〔x1－x2〕，即kA=a〔x1－x2〕，y′|=a〔x2－x1〕，即kB=a〔x2－x1〕. 设两条切线与x轴所成的锐角为、β，那么tan=|kA|=|a〔x1－x2〕|， tanβ=|kB|=|a〔x2－x1〕|，故tan=tanβ. 又、β是锐角，那么=β.