2023学年福建省三明市永安三中高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ） A． B． C． D． 3．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( ) A．， B．， C．， D．， 4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 5．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤 8．已知下列命题： ①“”的否定是“”； ②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题； ③“”是“”的充分不必要条件； ④“若，则且”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 9．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ） A．2阶区间 B．3阶区间 C．4阶区间 D．5阶区间 10．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ） A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班 B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定 C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班 D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 11．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( ) A．2 B． C． D． 12．是恒成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________. 14．已知全集，，则________. 15．已知函数为奇函数，则______. 16．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，平面分别是上的动点，且. （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值. 18．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1． （1）求椭圆的方程； （1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 19．（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛. （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数； （2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望. 20．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程： （1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值. 21．（12分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线． 22．（10分）已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【题目详解】 解：对，，且，有 在上递增 因为定义在上的偶函数 所以在上递减 又因为，， 所以 故选：A 【答案点睛】 考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 2、D 【答案解析】 由题知，又，代入计算可得. 【题目详解】 由题知，又. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值. 3、C 【答案解析】 根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【题目详解】 表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以. 表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题. 4、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 5、D 【答案解析】 由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【题目详解】 ，，对应点为，在第四象限． 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 6、C 【答案解析】 以D为原点，DA，DC，DD1 分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值． 【题目详解】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，， 取平面的法向量为， 设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝|， 直线与平面所成角的正弦值为. 故选C． 【答案点睛】 本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 7、C 【答案解析】 设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ， 故选C 8、B 【答案解析】 由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【题目详解】 “”的否定是“”，正确； 已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确； “”是“”的必要不充分条件,错误； “若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 9、D 【答案解析】 可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解 【题目详解】 当且时，.令得.可得和的变化情况如下表： 令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间. 故选：D 【答案点睛】 本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题 10、D 【答案解析】 计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案. 【题目详解】 由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11、C 【答案解析】 利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系. 【题目详解】 由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题. 12、A 【答案解析】 设 成立；反之，满足 ，但，故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案. 【题目详解】 根据题中的程序框图可得：, 执行循环体，， 不满足条件，执行循环体，， 此时，满足条件，退出循环，输出的值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查. 14、 【答案解析】 利用集合的补集运算即可求解. 【题目详解】 由全集，， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题. 15、 【答案解析】 利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值. 【题目详解】 由于函数为奇函数，则，即， ，整理得，解得. 当时，真数，不合乎题意； 当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意. 综上所述，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 16、 【答案解析】 只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决. 【题目详解】 由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为， 直三棱柱的棱长为x，则，，故， 即，解得，故三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）首先由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理即可得证； （2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 【题目详解】 解：（1）由， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面平面， 故. （2）因为平面，所以，又，所以平面， 所以，又，所以. 若平面