2023学年苏州大学附属中学高三考前热身数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 4．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，，则.其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 5．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ） A．4 B． C． D． 6．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（ ） A．3 B． C．4 D． 9．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为 A． B． C． D． 10．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ） A． B． C． D． 11．设双曲线（，）的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，且椭圆的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 12．在中，，，，则边上的高为（ ） A． B．2 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________. 14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________． 15．已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________. 16．已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则______ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）设，求不等式的解集； （2）已知，且的最小值等于，求实数的值. 18．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为. （1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度； （2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度. 19．（12分）已知． （1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围； （2）求不等式的解集． 20．（12分）在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由. 21．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面. （1）求证：平面平面； （2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程； （Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解. 【题目详解】 设过点作圆 的切线的切点为， ， 所以是中点，， ， . 故选:C. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题. 2、C 【答案解析】 利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可 【题目详解】 令，则，，∴，，∴. 【答案点睛】 本题考查等差数列的求和问题，属于基础题 3、A 【答案解析】 由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有 ，所以 【题目详解】 ∵ ∴由余弦公式的二倍角展开式有 又∵ ∴ 故选：A 【答案点睛】 本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 4、C 【答案解析】 根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【题目详解】 解：①：、也可能相交或异面，故①错 ②：因为，，所以或， 因为，所以，故②对 ③：或，故③错 ④：如图 因为，，在内过点作直线的垂线， 则直线， 又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则 又，所以 因为，， 所以，所以，故④对. 故选：C 【答案点睛】 考查线面平行或垂直的判断，基础题. 5、D 【答案解析】 试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D. 考点：线性规划. 6、B 【答案解析】 由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【题目详解】 依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是. 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 7、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 8、B 【答案解析】 先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可. 【题目详解】 由题意可知：， 所以，， 所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 9、D 【答案解析】 由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，. 10、B 【答案解析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【题目详解】 本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以， ，，故当输入，，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 11、B 【答案解析】 设双曲线的渐近线方程为，与抛物线方程联立，利用，求出的值，得到的值，求出关系，进而判断大小，结合椭圆的焦距为2，即可求出结论. 【题目详解】 设双曲线的渐近线方程为， 代入抛物线方程得， 依题意， ， 椭圆的焦距， ， 双曲线的标准方程为. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题. 12、C 【答案解析】 结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高. 【题目详解】 过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、或 【答案解析】 用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解. 【题目详解】 联立解得. 所以的面积，所以. 而由双曲线的焦距为知，，所以. 联立解得或 故双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 14、 【答案解析】 记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填． 15、 【答案解析】 由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可. 【题目详解】 由题设双曲线的左、右焦点分别为,, 因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点, 当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）； 当时,,由可得,等式两边同除可得,解得, 故答案为: 【答案点睛】 本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想. 16、13 【答案解析】 根据点在直线上可求得，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【题目详解】 在上，， 成等比数列，，即，解得：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) (2) 【答案解析】 （1）把f（x）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论． （2）把f（x）去绝对值写成分段函数，画出f（x）的图像，找出利用条件求得a的值． 【题目详解】 （1）时，. 当时，即为，解得. 当时， ，解得. 当时， ，解得. 综上，的解集为. （2）.， 由的图象知， ，. 【答案点睛】 本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 18、（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）. 【答案解