2023学年福建省三明市A片区高中联盟校高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A．3 B． C． D． 3． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A．56383 B．57171 C．59189 D．61242 4．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是； ②若面，则与面所成角的正切值取值范围是； ③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为. A． B． C． D． 7．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ） A． B．4 C． D．16 8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 11．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______. 14．若，则__________. 15．函数的极大值为______. 16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）中，内角的对边分别为，. （1）求的大小； （2）若，且为的重心，且，求的面积. 18．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析. （1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩 70 77 80 85 90 86 93 ①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望； ②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程， 其中，. 76 83 812 526 19．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）已知函数． （1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值； （2）为的导函数，当，时，求证：． 21．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程； （2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【题目详解】 解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有， 其和等于16的结果，共2种等可能的结果， 故概率. 故选：B. 【答案点睛】 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题. 2、B 【答案解析】 由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图： 直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为， ∴几何体的体积，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积. 3、C 【答案解析】 根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果. 【题目详解】 被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为的等差数列，记数列 则 令，解得. 故该数列各项之和为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查等差数列的应用，属基础题。 4、A 【答案解析】 ，从而可得，，再解不等式即可. 【题目详解】 由已知， ，所以， ，由， 解得，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 5、B 【答案解析】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，． 考点：程序框图、茎叶图． 6、C 【答案解析】 ①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【题目详解】 如图： ①错误， 因为 ，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为； ②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是； ③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号. 故选：. 【答案点睛】 本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 7、D 【答案解析】 根据复数乘方公式：，直接求解即可. 【题目详解】 ， . 故选：D 【答案点睛】 本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题. 8、D 【答案解析】 根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案. 【题目详解】 解：根据题意，函数在上单调递增， 当，若为增函数，则①， 当， 若为增函数，必有在上恒成立， 变形可得：， 又由，可得在上单调递减，则， 若在上恒成立，则有②， 若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有，③ 联立①②③可得：. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 9、B 【答案解析】 首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程. 【题目详解】 设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为, 故选：B 【答案点睛】 本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 10、D 【答案解析】 如图所示，设依次构成等差数列，其公差为. 根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，. 在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D． 11、B 【答案解析】 求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【题目详解】 由题意,对应点坐标为 ，在第二象限． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 12、B 【答案解析】 根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【题目详解】 实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示： 将线性目标函数化为， 则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，； 当经过时，截距最大值，， 所以线性目标函数的取值范围为， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差． 【题目详解】 解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2， 平均数为：， 该组数据的方差为： ， 该组数据的标准差为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14、 【答案解析】 由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【题目详解】 ，得，