2023学年福建厦门灌口中学高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( ) A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 3．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 5．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A． B． C． D． 6．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 8．若θ是第二象限角且sinθ =，则= A． B． C． D． 9．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ） A． B． C． D． 11．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 12．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2} 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，则的取值范围为__________. 14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________. 15．对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____. 16．已知正项等比数列中，，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，， （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围. 18．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）． （1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程； （2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标． 19．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆的方程； （2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 20．（12分）已知函数（为常数） （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若为增函数，求实数的取值范围. 21．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 22．（10分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【题目详解】 由（）★★ ，得（+2）★★， 又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018， 又◆◆，◆， 所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020， 所以（◆2020）（2020★2018）， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 2、B 【答案解析】 取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【题目详解】 取的中点，连接、， 由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得. 设球心为，和的中心分别为、. 由球的性质可知：平面，平面， 又，由勾股定理得. 所以外接球半径为. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3、B 【答案解析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。 【题目详解】 ，故奇函数，四个图像均符合。 当时，，，排除C、D 当时，，，排除A。 故选B。 【答案点睛】 图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。 4、A 【答案解析】 求函数定义域得集合M，N后，再判断． 【题目详解】 由题意，，∴． 故选A． 【答案点睛】 本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 5、C 【答案解析】 如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：切点为，连接，作轴于， ，故， 在中，，故，故，， 根据勾股定理：，解得. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 6、A 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【题目详解】 当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立， 若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立， 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 7、A 【答案解析】 根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题. 8、B 【答案解析】 由θ是第二象限角且sinθ =知：，． 所以． 9、D 【答案解析】 先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围. 【题目详解】 由题设有，故，故椭圆， 因为点为上的任意一点，故. 又， 因为，故， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题. 10、C 【答案解析】 根据偶函数的性质，比较即可. 【题目详解】 解： 显然，所以 是定义域为的偶函数，且在单调递增， 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 11、C 【答案解析】 取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果. 【题目详解】 解：如图，取中点，连接，， 由于正三棱柱，则底面， 而底面，所以， 由正三棱柱的性质可知，为等边三角形， 所以，且, 所以平面， 而平面，则， 则//，， ∴即为异面直线与所成角， 设，则，，， 则， ∴. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力. 12、A 【答案解析】 解出集合A和B即可求得两个集合的并集. 【题目详解】 ∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A． 【答案点睛】 此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 真数有最小值，根据已知可得的范围，求出函数的最小值，建立关于的不等量关系，求解即可. 【题目详解】 ，且（且）有最小值， ， 的取值范围为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题. 14、 【答案解析】 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案. 【题目详解】 根据题中的程序框图可得：, 执行循环体，， 不满足条件，执行循环体，， 此时，满足条件，退出循环，输出的值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查. 15、 【答案解析】 根据均为正数，等价于恒成立，令，转化为恒成立，利用基本不等式求解最值. 【题目详解】 由题均为正数，不等式恒成立，等价于 恒成立， 令则， 当且仅当即时取得等号， 故的最大值为. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解. 16、 【答案解析】 利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【题目详解】 由， 所以，解得. ，所以， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）． 【答案解析】 （1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间； （2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论． 【题目详解】 （1）函数定义域是， ， 当时，，单调递增； 时，令得，时，，递减，时，，递增， 综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增． （2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或． 当时，，，