2023学年福建省泉州市高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001） A．0.110 B．0.112 C． D． 2．已知是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 3．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ） A．4 B．8 C．9 D．27 4．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）. A． B． C． D． 6．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A． B． C． D． 7．的展开式中，满足的的系数之和为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A． B． C． D． 9．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）． A． B． C． D． 10．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．不是函数的最小值 D．对于，都有 11．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知正项等比数列中，，则__________． 14．的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________. 15．的展开式中常数项是___________. 16．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）已知，求的大小. 18．（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图. （1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值； （2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家； （3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望. 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 21．（12分）已知矩阵，. 求矩阵； 求矩阵的特征值. 22．（10分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，. （1）若，求直线AP与平面所成角； （2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据题意知,，代入公式,求出即可. 【题目详解】 由题意可得,因为, 所以,即. 所以这种射线的吸收系数为. 故选:C 【答案点睛】 本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 2、B 【答案解析】 根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【题目详解】 . 故选B 【答案点睛】 本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 3、D 【答案解析】 设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【题目详解】 设正四面体的棱长为，取的中点为，连接， 作正四面体的高为， 则， ， ， 设内切球的半径为，内切球的球心为， 则， 解得：； 设外接球的半径为，外接球的球心为， 则或，， 在中，由勾股定理得： ， ，解得， ， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 4、C 【答案解析】 求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值. 【题目详解】 设等比数列的公比为，，，， 因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 5、C 【答案解析】 易得，，又，平方计算即可得到答案. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形， 所以，又， 故，，， 所以，即， 故离心率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题. 6、B 【答案解析】 计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：设球半径为，则，解得. 故求体积为：，圆锥的体积：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 7、B 【答案解析】 ，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得． 【题目详解】 当时，的展开式中的系数为 ．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键． 8、A 【答案解析】 设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积． 【题目详解】 如图，设三棱柱为，且，高． 所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点， 则圆的半径为． 设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且， 所以， 即球的半径为， 所以球的体积为． 故选A． 【答案点睛】 本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率． 9、A 【答案解析】 基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【题目详解】 解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数， 其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个， 其和等于的概率． 故选：． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 10、B 【答案解析】 根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【题目详解】 由得关于对称， 若关于对称，则函数在上不可能是单调的， 故错误的可能是或者是， 若错误， 则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件． 故错误的是， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键． 11、C 【答案解析】 求出集合，计算出和，即可得出结论. 【题目详解】 ，，，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得. 【题目详解】 依题意，，即, 解得；因为 所以，当时，. 故选:C. 【答案点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【题目详解】 由， 所以，解得. ，所以， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题. 14、 【答案解析】 先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值. 【题目详解】 因为，故，因为，所以. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足， 所以即. 因为， 解得或（舍）. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题. 15、-160 【答案解析】 试题分析：常数项为. 考点：二项展开式系数问题. 16、. 【答案解析】 化简集合，由，以及，即可求出结论. 【题目详解】 集合，若， 则的可能取值为，0，2，3， 又因为， 所以实数所有的可能取值构成的集合是. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合转化即可求解； （Ⅱ）可设，由，再由余弦定理解得，对中，由余弦定理有，通过勾股定理逆定理可得，进而得解 【题目详解】 （Ⅰ）由正弦定理得. 而. 由以上两式得，即. 由于，所以， 又由于，得. （Ⅱ）设，在中，由正弦定理有. 由余弦定理有，整理得， 由于，所以. 在中，由余弦定理有. 所以，所以. 【答案点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题 18、 (1)证明见解析 (2) 【答案解析】 （1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面． （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角