2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．已知，满足约束条件，则的最大值为 A． B． C． D． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 4．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 5．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ） A． B．2 C． D． 8．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．设等差数列的前n项和为，且，，则( ) A．9 B．12 C． D． 11．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ） A． B．1 C． D．i 12．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________. 14．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________． 15．已知向量满足，且，则 _________． 16．函数的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且. （1）证明：为线段的中点； （2）求二面角的余弦值. 18．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. （1）求的周长； （2）求面积的最大值. 19．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线. （1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？ （2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率； （3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 20．（12分）设数列的前n项和满足，，， （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔ （2）设，求证：. 21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积. 22．（10分）在中，内角的对边分别是，满足条件． （1）求角； （2）若边上的高为，求的长． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 试题分析：画出截面图形如图 显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C． 考点：平面的基本性质及推论． 2、D 【答案解析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【题目详解】 作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 等价于，作直线，向上平移， 易知当直线经过点时最大，所以，故选D． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 3、B 【答案解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2. 又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增， 又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0， 根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B. 4、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 5、C 【答案解析】 函数的定义域应满足 故选C. 6、D 【答案解析】 先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围. 【题目详解】 由题设有，故，故椭圆， 因为点为上的任意一点，故. 又， 因为，故， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题. 7、D 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值． 【题目详解】 解：在复平面内所对应的点在虚轴上， ，即． 故选D． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 8、D 【答案解析】 由得，分别算出和的值，从而得到的值. 【题目详解】 ∵， ∴， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴， 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查对数运算，属于基础题. 9、D 【答案解析】 根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案． 【题目详解】 解：根据题意，函数，其导数函数， 则有在上恒成立， 则在上为增函数； 又由， 则； 故选：． 【答案点睛】 本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题． 10、A 【答案解析】 由，可得以及，而，代入即可得到答案. 【题目详解】 设公差为d，则解得 ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 11、A 【答案解析】 由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求. 【题目详解】 解：∵， ∴，， 则化为， ∴z的虚部为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题. 12、B 【答案解析】 由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式. 【题目详解】 解：由图象知，，则， 图中的点应对应正弦曲线中的点， 所以，解得， 故函数表达式为． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、， 【答案解析】 根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和. 【题目详解】 由是偶函数及，可取， 则， 由的图象关于点对称，得，， 即，，可取. 故，的一组值可以分别是，. 故答案为：，. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果. 【题目详解】 解：因为是抛物线的焦点，所以， 设点的坐标为， 因为为的中点，而点的横坐标为0， 所以，所以，解得， 所以点的坐标为 所以， 故答案为： 【答案点睛】 此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题. 15、 【答案解析】 由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论． 【题目详解】 由题意， ∴，即，∴． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键． 16、 【答案解析】 根据图象利用，先求出的值，结合求出，然后利用周期公式进行求解即可． 【题目详解】 解：由，得， ，， 则， ， ，即， 则函数的最小正周期， 故答案为：8 【答案点睛】 本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）设为中点，连结，先证明，可证得，假设不为线段的中点，可得平面，这与矛盾，即得证； （2）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解. 【题目详解】 （1）设为中点，连结. ∴，， 又 平面， 平面， ∴. 又分别为中点， ，又， ∴. 假设不为线段的中点， 则与是平面内内的相交直线， 从而平面， 这与矛盾，所以为线段的中点. （2）以为原点，由条件面面， ∴，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ， ，. 设平面的法向量为 所以 取，则，. 同法可求得平面的法向量为 ∴， 由图知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 【答案点睛】 本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题. 18、（1）12（2） 【答案解析】 （1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义； （2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值. 【题目详解】 （1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故， 因此，的周长； （2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则， ，，，， 当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为. 【答案点睛】 此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大. 19、（1）6种；（2）；（3）. 【答案解析】 （1）从4条街中选择2条横街即可； （2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率； （3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免. 【题目详解】 （1）