2023年大高数期末考试试题.docx

天道酬勤 大一高数期末考试试题 大一高数期末考试试题 高数试题 一．填空题〔共5小题，每题4分，共计20分〕 11． lim(ex)xx0x2.2． 11x1x201xexexdxetdtxx2 .3．设函数yy(x)由方程1xy确定，那么 tf(t)dtf(x)f(0)1fx1.4.设可导，且，， 那么fx.5．微分方程y4y4y0的通解 x0dydx为. 二．选择题〔共4小题，每题4分，共计16分〕1．设常数k0，那么函数 f(x)lnxxke在(0,)内零点的个数为〔〕. (A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方 程y4y3cos2x的特解形式为〔〕. 〔A〕yAcos2x;〔B〕yAxcos2x; 〔C〕yAxcos2xBxsin2x;〔D〕yAsin2x.3．以下结论不一定成立的是〔〕. xfxdxfxdxc,da,bca〔A〕假设,那么必有;〔B〕假设f(x)0在a,b上可fxdx0积,那么;〔C〕假设fx是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有 abdbaTafxdxfxdx0Ttftdtfx0;〔D〕假设可积函数为奇函数,那么也为奇函数.4.设 xfx1e1x1x23e,那么x0是f(x)的〔〕. (A)连续点;(B)可去间断点;(C) 本页总分值12分本页得分跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题〔共5小题，每题6分，共计30分〕 1．计算定积分 20x3exdx 22．2．计算不定积分 xsinxdxcos5x. xa(tsint),t2处的切线的方程.求摆线ya(1cost),在 设 F(x)cos(x2t)dt0x，求F(x). 5．设 xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n. 四．应用题〔共3小题，每题9分，共计27分〕1．求由曲线y过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积. x2与该曲线 222．设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积. 设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小并求最小值. 五．证明题〔7分〕 t1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且试证明至少存 在一点(0,1),使得f()=1.一．填空题〔每题4分，5题共20分〕： 11． lim(ex)x0t2xx2e.2．112x01x1x201xexexdx4e.3．设函数yy(x)由方程 xxy1dyedtx确定，那么dx12x2tf(t)dtf(x)f(0)1e1.4.设fx可导，且1，， 2x那么fxe.5．微分方程y4y4y0的通解为y(C1C2x)e.二．选择 题〔每题4分，4题共16分〕：1．设常数k0，那么函数内零点的个数为〔B〕. f(x)lnxxk(0,)e在 (A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程y4y3cos2x的特解形式为〔C〕 yAcos2xy〔A〕；〔B〕Axcos2x； 〔C〕yAxcos2xBxsin2x；〔D〕yAsin2x3．以下结论不一定成立的是〔A〕 x(A)(A)假设c,da,b,那么必有 dcfxdxfxdxabb; fxdx0a,bf(x)0a(B)(B)假设在上可积,那么; (C)(C)假设fx是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有 aTafxdxfxdx0T; (D)(D)假设可积函数fx为奇函数,那么 x0tftdt也为奇函数.4.设 fx1e1x1x23e,那么x0是f(x)的〔C〕. (A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题〔每题6分，5题共30分〕：1．计算定积分02x3exdx2. 解： 设x2t,那么20x3exdx21t12tedttdet0220-------2 2221tetetdt002-------2 2131xsinxe2ete2dx50222cosx--------22．计算不定积分.解： xsinx111xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosx--------3x12(tanx1)dtanx44cosx4xa(tsint),x113tanxtanxC44cosx124-----------33．求摆线ya(1cost),在t(a(1),a)2处的切线的方程.解：切点为2-------2 kdyasintdxta(1cost)t21-------2yaxa(1)yx(2)a22.-------2切线方程为即 24.设 F(x)cos(x2t)dt0x，那么F(x)2xcosx(2x1)cos(xx).5．设 xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n. 1nilnxnln1()ni1n---------2解： n1i1limlnxnlimln(1)ln(1x)dx0nnnni1--------------2 = xln(1x)10x01故 2ln21limxnen= 1dx2ln211x------------24e四．应用题〔每题9分，3题共27分〕1．求 由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积. 解： 〔x0,y0)，那么过原点的切线方程为设切点为 xy1x2x02， 〔x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x04,y02.-----3由于点 过原点和点(4,2)的切线方程为面积 y22-----------------------------3 s2023(y222y)dy=3-------------------3 2或 s201x2xdx(24122xx2)dx223 222．设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积. 解：法一：VV1V2(11y)dy(2y)2dy012212101y12(y1)2dy-------6 01112(y1)32()043--------343法二：V= 102(2x)(2xx2x)dx010 ------------------5 2(2x)2xx2dx2(2xx2)dx14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323-------------4 3.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最 t小并求最小值.解: 由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna---------------3 又由t(a)lnlna10得唯一驻点aee2a(lna)------------3 当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-----2 故 aee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1lne11.ee--------------1 五．证明题〔7分〕 1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且试证明至 少存在一点(0,1),使得f()=1.证明：设F(x)f(x)x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0, 有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------2 1111111f()=11]F(=)(-)f=1-=，[，2222又由2，知2在2上F(x)用零点定 理， 11F(1)F()=-022根据，---------------在至少存在一点，使得1F()，=0(,1)(0,1)F(0)=F()=02,由ROLLE中值定理得至少存在一点 (0,)(0,1)使得F()=0即f()1=0，证毕.--------------3 可知 1(，1)2内 扩展阅读：大一高数期末考试题 电卓期末高数模拟考试 一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),那么在x0处有(　). 〔A〕f(0)2〔B〕f(0)1〔C〕f(0)0〔D〕f(x)不可导. 2.设(x)1x1x，(x)333x，那么当x1时〔〕. 〔A〕(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；〔B〕(x)与(x)是等价无穷小； 〔C〕(x)是比(x)高阶的无穷小；〔D〕(x)是比(x)高阶的无穷小. 3.假设 F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且 f(x)0，那么〔〕. 〔A〕函数F(x)必在x0处取得极大值；〔B〕函数F(x)必在x0处取得极小值； 〔C〕函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；〔D〕函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。4. 设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,那么f(x)(x2x2〔A〕2〔B〕22〔C〕x1〔D〕x2. 二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕25.lim(13x)sinxx0. 6. cosxx是f(x)的一个原函数,那么f(x)cosx.xdxlim2227.nn(cosncosncos2n1n). 12x2arcsinx1－11x2dx8.2. 三、解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕 9.设函数yy(x)由方程 exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求110.x7x(1x7)dx. 设f(x)xxe，　　x0　求11.2xx2，0x113f(x)dx． ) 1012.设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性. g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求 1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足 四、解答题〔本大题10分〕 14.上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题〔本大题10分〕 15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围 成平面图形D. (1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题〔本大题有2小题，每题4分，共8分〕 16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]， q1f(x)dxqf(x)dx00. 17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0. 证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.〔提 F(x)示：设 0f(x)dx〕 一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C 二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕 1cosx2　()ce635..6.2x.7.2.8.. 三、解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕9.解：方程两边求导 xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy) x0,y0，y(0)77x6dxdu10.解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd　 4 12.解：由f(0)0，知g(0)0。 x1xtu2e31 g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0) g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0) g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x