2023学年湖南省长沙市师大附中高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比 脱贫率 那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ） A． B． C． D． 3．已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的一条切线为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 9．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上，则直线被截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 10．已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 11．复数的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述： ①平面； ②四点、、、可能共面； ③若，则平面平面； ④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________. 14．某次足球比赛中，，，，四支球队进入了半决赛.半决赛中，对阵，对阵，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示. 获胜概率 — 0.4 0.3 0.8 获胜概率 0.6 — 0.7 0.5 获胜概率 0.7 0.3 — 0.3 获胜概率 0.2 0.5 0.7 — 则队获得冠军的概率为______. 15．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）. 16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：. 18．（12分）已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线？ （2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．（12分）在中，为边上一点，，. （1）求； （2）若，，求. 20．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求. 21．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面. （1）求证：； （2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）已知函数，(其中，). （1）求函数的最小值. （2）若，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解. 【题目详解】 设贫困户总数为，脱贫率， 所以. 故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 2、C 【答案解析】 根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【题目详解】 因为圆心，半径，直线与圆相交，所以 ，解得 所以相交的概率,故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 3、A 【答案解析】 利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限. 【题目详解】 依题意，对应点为，在第一象限. 故选A. 【答案点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 4、A 【答案解析】 分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出. 详解：由题设有，故，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 5、B 【答案解析】 函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围． 【题目详解】 由题在上恒成立.即， 的图象永远在的上方， 设与的切点，则，解得， 易知越小，图象越靠上，所以. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围． 6、B 【答案解析】 因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B满足函数定义，故符合； 对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B． 7、A 【答案解析】 求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案. 【题目详解】 ，则，取，，故，. 故，故，. 设，，取，解得. 故函数在上单调递减，在上单调递增，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8、B 【答案解析】 由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【题目详解】 解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数. 若输出 ，则不符合题意，排除； 若输出，则，符合题意. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答. 9、B 【答案解析】 由焦点得抛物线方程，设点的坐标为，根据对称可求出点的坐标，写出直线方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可. 【题目详解】 抛物线的焦点为， 则，即， 设点的坐标为，点的坐标为， 如图： ∴， 解得，或(舍去)， ∴ ∴直线的方程为， 设直线与抛物线的另一个交点为， 由，解得或， ∴， ∴， 故直线被截得的弦长为． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题. 10、D 【答案解析】 试题分析：由,得,则，故选D. 考点：1、复数的运算；2、复数的模. 11、A 【答案解析】 试题分析：由题意可得：. 共轭复数为，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系 12、D 【答案解析】 分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【题目详解】 设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、①③ 【答案解析】 连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【题目详解】 对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示： 则且，四边形是矩形，且，为的中点， 为的中点，且，且， 四边形为平行四边形，，即， 平面，平面，平面，命题①正确； 对于命题②，，平面，平面，平面， 若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得， 则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾. 所以，命题②错误； 对于命题③，连接、，设，则， 在中，，，则为等腰直角三角形， 且，，，且， 由余弦定理得，， ，又，，平面， 平面，， ，、为平面内的两条相交直线，所以，平面， 平面，平面平面，命题③正确； 对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 平面，， ，，，，， 又，平面，平面，. ，平面，平面，. ，，显然与不垂直，命题④错误. 故答案为：①③. 【答案点睛】 本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题. 14、0.18 【答案解析】 根据表中信息，可得胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解. 【题目详解】 由表中信息可知，胜C的概率为； 若B进入决赛，B胜D的概率为，则A胜B的概率为； 若D进入决赛，D胜B的概率为，则A胜D的概率为； 由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为. 故答案为：0.18 【答案点睛】 本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题. 15、 【答案解析】 利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【题目详解】 的展开式的通项公式为， 令，故，故的系数为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题. 16、 【答案解析】 由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求