2023学年湖南长沙县三中高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A．2 B． C． D．1 2．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ） A． B． C． D． 3．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ） A． B． C． D． 4．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ） A． B． C． D． 6．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．关于函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为 B．函数一个递增区间为 C．函数的图像关于直线对称 D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像 8．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 9．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A． B． C． D． 10．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ） A．156 B．124 C．136 D．180 11．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，为正实数，且，则的最小值为________________. 14．若，则________，________. 15．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______ 16．命题“对任意，”的否定是 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 18．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为 （，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点． ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若时，，求实数； ⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论． 19．（12分）已知，求的最小值. 20．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列． （1）求及； （2）设，设数列的前项和，证明：． 21．（12分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若的解集包含，求的取值范围. 22．（10分）表示，中的最大值，如，己知函数，. （1）设，求函数在上的零点个数； （2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 ，选B. 2、B 【答案解析】 由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解. 【题目详解】 由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为， 设三角形的腰为， 由正弦定理可得，解得， 所以三角形的面积为： ， 所以每块八卦田的面积约为：. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题. 3、A 【答案解析】 根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可. 【题目详解】 因为, 所以 ， 所以， 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 4、C 【答案解析】 根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值. 【题目详解】 依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题. 5、A 【答案解析】 根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容． 【题目详解】 由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0 满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1 满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2 满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3 … 观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题． 6、D 【答案解析】 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果. 【题目详解】 ， 则， ， ，所以，函数的图象关于直线对称. 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，，即，解得或. ①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示： 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意； ②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点. 综上所述，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7、B 【答案解析】 化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案. 【题目详解】 ， 故函数的定义域为，故错误； 当时，，函数单调递增，故正确； 当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误. 平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力. 8、A 【答案解析】 设，，利用点差法得到，所以直线的斜率为2，又过点，再利用点斜式即可得到直线的方程. 【题目详解】 解：设，∴， 又，两式相减得：， ∴， ∴， ∴直线的斜率为2，又∴过点， ∴直线的方程为：，即， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系． 9、C 【答案解析】 在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【题目详解】 两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、， 又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题. 10、A 【答案解析】 因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【题目详解】 ， ， . 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【题目详解】 是奇函数，排除C，D；，排除A. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数图象的判断，属于常考题. 12、A 【答案解析】 由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【题目详解】 解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由，为正实数，且，可知，于是，可得 ，再利用基本不等式即可得出结果. 【题目详解】 解：，为正实数，且，可知， ， . 当且仅当时取等号. 的最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 14、 【答案解析】 根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案. 【题目详解】 ，故. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题. 15、 【答案解析】 第一空：将圆与联立，利用计算即可； 第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系，再将与联立，得到，与结合可得为等差数列，进而可得. 【题目详解】 当r1=1时，圆， 与联立消去得， 则，解得； 由图可知当时，①， 将与联立消去得 ， 则， 整理得，代入①得， 整理得， 则. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目. 16、存在，使得 【答案解析】 试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意，”的否定是“存在，使得”． 考点：命题的否定． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•log2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn． 【题目详解】 (1)设数列的公比为， 由题意知：， ∴，即. ∴，即. (2)， ∴.① .② ①－②得 ∴. 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题． 18、（1）（2）（3）为定值 【答案解析】 试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为； （2）我们