2023学年湖南省雅礼洋湖中学高三压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．若，满足约束条件，则的最大值是（ ） A． B． C．13 D． 6．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ） A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8 8．设为等差数列的前项和，若，则 A． B． C． D． 9．设、，数列满足，，，则（ ） A．对于任意，都存在实数，使得恒成立 B．对于任意，都存在实数，使得恒成立 C．对于任意，都存在实数，使得恒成立 D．对于任意，都存在实数，使得恒成立 10．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ） A． B． C． D． 11．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( ) A． B． C． D．0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__． 14．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________. 15．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________. 16．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理. 18．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数，． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由． 19．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点． （1）写出曲线C的一般方程； （2）求的最小值． 20．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 21．（12分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的值域. 22．（10分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示. （1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望； （3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线可解得． 【题目详解】 因为双曲线分左右支，所以， 根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线方程得：， 即，由得． 故选：． 【答案点睛】 本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2、A 【答案解析】 点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【题目详解】 不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值， 因为，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立， 此时最大，此时的外接圆面积取最小值， 点的坐标为，代入可得，． 所以双曲线的方程为． 故选： 【答案点睛】 本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3、C 【答案解析】 由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，，则函数的周期是， 所以，， 又函数为上的奇函数，且当时，， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 4、D 【答案解析】 该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【题目详解】 由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为， 故选D. 【答案点睛】 本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 5、C 【答案解析】 由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【题目详解】 解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即 点到坐标原点的距离最大，即． 故选：． 【答案点睛】 本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6、B 【答案解析】 满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【题目详解】 满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 7、D 【答案解析】 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【题目详解】 样本的平均数是10，方差为2， 所以样本的平均数为,方差为. 故选:D. 【答案点睛】 样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为. 8、C 【答案解析】 根据等差数列的性质可得，即， 所以，故选C． 9、D 【答案解析】 取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案. 【题目详解】 取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项； 由蛛网图可知，存在两个不动点，且，， 因为当时，数列单调递增，则； 当时，数列单调递减，则； 所以要使，只需要，故，化简得且. 故选：D． 【答案点睛】 本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题． 10、D 【答案解析】 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【题目详解】 如图所示的直四棱柱，，取中点， 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系． 设，则， ． 设平面的法向量为， 则取， 得． 设直线与平面所成角为， 则， ， ∴直线与平面所成角的正切值等于 故选：D 【答案点睛】 本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 11、A 【答案解析】 化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【题目详解】 由题意，复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据复数除法的运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查复数的代数运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 ， 由余弦定理，得， 得，，， 所以，所以． 点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可． 14、2. 【答案解析】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果. 【题目详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则， ，又， 得即； 又平面，为与平面所成角， 令， 当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2. 故答案为：2 【答案点睛】 本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力. 15、 【答案解析】 画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围． 【题目详解】 函数的图象如图所示： 因为方程有且只有两个不相等的实数根， 所以图象与直线有且只有两个交点即可， 当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题． 16、 【答案解析】 先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的