2023学年湖南省长沙市广益实验中学高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( ) A．-2 B．-1 C． D． 2．已知函数，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为 A．1 B． C． D． 4．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A． B． C． D． 6．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ） A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长 B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上 C．从年至年，中国的总值最少增加万亿 D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年 7．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 8．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 10．已知随机变量服从正态分布，，（ ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则（ ） A． B． C．或 D． 12．如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知， 是互相垂直的单位向量，若 与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__． 14．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________. 15．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____． 16．二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形． （1）求椭圆C的方程； （2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围． 18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，成等差数列，求的值； （2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 20．（12分）已知，. （1）解； （2）若，证明：. 21．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”． （1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？ （2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为. 22．（10分）已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若“，”为假命题，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 若输入，则执行循环得 结束循环，输出，与题意输出的矛盾； 若输入，则执行循环得 结束循环，输出，符合题意； 若输入，则执行循环得 结束循环，输出，与题意输出的矛盾； 若输入，则执行循环得 结束循环，输出，与题意输出的矛盾； 综上选B. 2、C 【答案解析】 结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出. 【题目详解】 由题意可得，则. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 3、C 【答案解析】 根据抛物线定义，可得，， 又，所以，所以， 设，则，则， 所以，所以直线的斜率．故选C． 4、B 【答案解析】 根据抛物线定义得，即可解得结果. 【题目详解】 因为，所以. 故选B 【答案点睛】 本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 5、B 【答案解析】 根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【题目详解】 因为该程序图是计算值的一个程序框圈 所以共循环了5次 所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6， 即判断框内的不等式应为或 所以选C 【答案点睛】 本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 6、C 【答案解析】 观察图表，判断四个选项是否正确． 【题目详解】 由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误． 【答案点睛】 本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础． 7、D 【答案解析】 试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 8、B 【答案解析】 令，则，由图象分析可知在上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【题目详解】 令，则，如图 与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有 六个不相等的实数根，则有两个不同的根， 设由根的分布可知， ，解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 9、B 【答案解析】 根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果. 【题目详解】 因为双曲线的焦距为， 故可得，解得，不妨取； 又焦点，其中一条渐近线为， 由点到直线的距离公式即可求的. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题. 10、B 【答案解析】 利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果. 【题目详解】 ，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 11、D 【答案解析】 首先求出集合，再根据补集的定义计算可得； 【题目详解】 解：∵，解得 ∴，∴. 故选：D 【答案点睛】 本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 12、B 【答案解析】 试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 【题目详解】 解：由题意，设（1，0），（0，1）， 则（，﹣1）， λ（1，λ）； 又夹角为60°， ∴（）•（λ）λ＝2cos60°， 即λ， 解得λ． 【答案点睛】 本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 14、27 【答案解析】 利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得. 【题目详解】 由等比数列的性质可知，则， . 当且仅当时取得最小值. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题. 15、 【答案解析】 计算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案. 【题目详解】 由（）•（）＝0 可得 （）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角． 再由 2•1+4+2×1×2cos7 可得||， ∴||cosα﹣1，解得cosα． ∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||， 故答案为． 【答案点睛】 本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键. 16、 【答案解析】 由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项． 【题目详解】 由题意，． 展开式通项为，由得， ∴常数项为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）①；②. 【答案解析】 （1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2； （2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域． 【题目详解】 （1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以， 又由右准线方程为，得到， 解得，所以 所以，椭圆的方程为 （2）①设，而，则， ∵ ， ∴ 因为点都在椭圆上，所以 ，将下式两边同时乘以再减去上式，解得， 所以 ②由原点到直线的距离为，得，化简得： 联立直线的方程与椭圆的方程：，得 设，则，且 ， 所以 的面积 ， 因为在为单调减函数， 并且当时，，当时，， 所以的面积的范围为． 【答案点睛】 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 18、见解析 【答案解析】