2023学年湖南省邵阳市高三第二次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．复数的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A． B． C． D． 4．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（ ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，若，则（ ） A．8 B．12 C．14 D．10 6．函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点仅有一个； ②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为； ③无论过点的直线在什么位置，总有； ④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数，则（ ） A． B．1 C．-1 D．0 9．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 10．已知角的终边经过点，则的值是　　 A．1或 B．或 C．1或 D．或 11．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 12．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ） A． B． C．4 D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，则=___________，_____________________________ 14．如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______. 15．已知，则展开式中的系数为__ 16．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数． （1）解不等式； （2）若函数存在零点，求的求值范围． 18．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，边上的中线，求的面积. 19．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）若，，，求证：. 20．（12分）如图：在中，，，. （1）求角； （2）设为的中点，求中线的长. 21．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 22．（10分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列. （1）求的值； （2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【题目详解】 令，则当时，， 又，所以为偶函数， 从而等价于， 因此选B. 【答案点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 2、C 【答案解析】 所对应的点为（-1，-2）位于第三象限. 【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 3、B 【答案解析】 因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【题目详解】 因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 4、C 【答案解析】 判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得． 【题目详解】 如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴， 设，则，，∴,． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 5、C 【答案解析】 将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示. 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则由，，得解得，， 所以．故选C． 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式. 6、A 【答案解析】 先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【题目详解】 函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项； 当时，，排除C选项. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7、C 【答案解析】 ①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上. 【题目详解】 解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故， 所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确； 对于②，不妨设，则关于准线的对称点为， 故， 当且仅当三点共线时等号成立，故②正确； 对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：， 设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为， ，整理得，则，所以 ， 则 .故的倾斜角互补，所以，故③正确. 对于④，由题意知 ，由③知， 则 ，由， 知，即三点在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 8、A 【答案解析】 由函数，求得，进而求得的值，得到答案. 【题目详解】 由题意函数， 则，所以，故选A. 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9、D 【答案解析】 由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部. 【题目详解】 由zi＝1﹣i，∴z＝ ，所以共轭复数=-1+，虚部为1 故选D． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题． 10、B 【答案解析】 根据三角函数的定义求得后可得结论． 【题目详解】 由题意得点与原点间的距离． ①当时，， ∴， ∴． ②当时，， ∴， ∴． 综上可得的值是或． 故选B． 【答案点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可． 11、D 【答案解析】 根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解. 【题目详解】 因为复数z满足， 所以， 所以z的虚部为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、D 【答案解析】 根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长． 【题目详解】 解：复数z＝a+bi，a、b∈R； ∵2z， ∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝， 即， 解得a＝3，b＝4， ∴z＝3+4i， ∴|z|． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、−196 −3 【答案解析】 由二项式定理及二项式展开式通项得：，令x=1，则1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解． 【题目详解】 由二项式(1−2x)7展开式的通项得， 则， 令x=1,则， 所以a0+a1+…+a7=−3， 故答案为：−196，−3. 【答案点睛】 本题考查二项式定理及其通项，属于中等题. 14、 【答案解析】 根据圆柱的体积为，以及圆锥的体积公式，计算即得. 【题目详解】 由题得，，得. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查圆锥体的体积，是基础题. 15． 【答案解析】 由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数． 【题目详解】 ∵已知，则， 它表示4个因式的乘积． 故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项． 故展开式中的系数． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题． 16、 【答案解析】 由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集. 【题目详解】 因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数， 又当时，，得时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以不等式等价于，即或， 解得或，所以不等式的解集为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）或 ；（2）． 【答案解析】 （1）通过讨论的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集； （2）将函数零点问题转