2023年高考试题数学理福建卷解析版2.docx

2023年高考试题——数学（理）（福建卷）解析 解析（一） 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 1．的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A。 【解析】原式=，应选A。 【命题意图】此题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查根底知识，属保分题。 2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D。 【解析】因为抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。 【命题意图】此题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属根底题。 3．设等差数列的前n项和为,假设,,那么当取最小值时,n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A。 【解析】设该数列的公差为，那么，解得， 所以，所以当时，取最小值。 【命题意图】此题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 4．函数的零点个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C。 【解析】当时，令解得； 当时，令解得，所以函数有两个零点，选C。 【命题意图】此题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C。 【解析】由程序框图可知，该框图的功能是 输出使和时的的值加1， 因为，，， 所以当时，计算到，故输出的是4，选。 6．如图，假设是长方体被平面截去几何体 后得到的几何体，其中为线段上异于的点， 为线段上异于的点，且∥，那么以下结论中不 正确的选项是 A．∥ B．四边形是矩形 C．是棱柱 D．是棱台 【答案】D。 【解析】因为∥，∥，所以，∥，又，所以∥平面，又，平面平面， 所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面， ∥，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，应选D。 【命题意图】此题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。 7．假设点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,那么的取值范围为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】因为是双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，那么有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。 【命题意图】此题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 8．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( ) A． B．4 C． D．2 【答案】B。 【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出不等式表示的平面区域，如下列图， 可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。 【命题意图】此题考查不等式中的线性规划及两个图形间最小距离的求解、根本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。 9．对于复数，假设集合具有性质“对任意，必有〞，那么当时，等于 A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】B。 【解析】由题意，可取，所以，选B。 【命题意图】此题属创新题，考查复数与集合的根底知识。 10．对于具有相同定义域的函数和，假设存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有那么称直线为曲线与的“分渐近线〞。给出定义域均为D=的四组函数如下： ①，；②，； ③，；④，。 其中，曲线与存在“分渐近线〞的是 A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【命题意图】此题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。 【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是②④选C。 二、填空题 11．在等比数列中,假设公比,且前3项之和等于21,那么该数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由题意知，解得，所以通项。 【命题意图】此题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属根底题。 12．假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下列图,那么其外表积等于 ． 【答案】 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ，侧面积为，所以其外表积为。K^Sx5U.C#O% 【命题意图】此题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等根本能力。 13．某次知识竞赛规那么如下:在主办方预设的5个问题中，选手假设能连续正确答复出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确答复每个问题的概率都是，且每个问题的答复结果相互独立，那么该选手恰好答复了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 【答案】0．128 【解析】由题意知，所求概率为。 【命题意图】此题考查独立重复试验的概率，考查根底知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。K^Sx5U.C#O% 14．函数和的图象的对称轴完全相同。假设，那么的取值范围是 。 【答案】 【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知： 的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。 【命题意图】此题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。 15．定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论： ①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减〞的充要条件是 “存在，使得 〞。 其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④ 【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。 【命题意图】此题考查函数的性质与充要条件，熟练根底知识是解答好此题的关键。 16．（本小题总分值13分） 设是不等式的解集，整数。 （Ⅰ）记“使得成立的有序数组〞为事件，试列举包含的根本领件； （Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望。 【命题意图】本小题主要考察概率与统计、不等式等根底知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。 【解析】（Ⅰ）由得，即， 由于整数且，所以包含的根本领件为 。 （Ⅱ）由于的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以的所有不同取值为0，1，4，9，且有，，，， 故的分布列为 0 1 4 9 P 所以=。 17．（本小题总分值13分） 中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得， 又，所以，故椭圆的方程为。 概率为。 （i）当点C在圆周上运动时，求的最大值； （ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等根底知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。 【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面， 而平面，所以平面平面。K^Sx5U.C#O% （Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，那么AB=，故三棱柱的体积为 =，又因为， 所以=，当且仅当时等号成立， 从而，而圆柱的体积， 故=当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是。K^Sx5U.C#O% （ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），那么C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r）， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量，由，故， 取得平面的一个法向量为，因为， 所以。 19．（本小题总分值13分） 。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。 （1）假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和， 所以，解得， 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。 此时，在中，，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20．（本小题总分值14分） （Ⅰ）函数，。 （i）求函数的单调区间； （ii）证明：假设对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点 ，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 （Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等根底知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】（Ⅰ）（i）由得=， 当和时，； 当时，， 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。 21．此题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，总分值14分。如果多做，那么按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题总分值7分）选修4-2：矩阵与变换 矩阵M=，，且， （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。 （2）（本小题总分值7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。 （Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，假设点P的坐标为，