2023学年湖南省益阳市桃江县高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ） A． B． C． D． 2．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则的值是　　 A．1或 B．或 C．1或 D．或 4．方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（ ） A． B． C． D． 5．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A． B． C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( ) A． B． C． D． 9．过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ） A． B． C． D． 11．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ） A． B． C． D． 12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．，则f（f（2））的值为____________． 14．曲线在点处的切线方程为________. 15．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）． ①； ②这名学生中数学成绩在分以下的人数为； ③这名学生数学成绩的中位数约为； ④这名学生数学成绩的平均数为． 16．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为. （1）求证：； （2）若，求的值. 18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小． 19．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）设数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 21．（12分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切. （1）求点的轨迹的方程； （2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值. 22．（10分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，. （1）若，证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【题目详解】 两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 2、D 【答案解析】 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【题目详解】 如图所示的直四棱柱，，取中点， 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系． 设，则， ． 设平面的法向量为， 则取， 得． 设直线与平面所成角为， 则， ， ∴直线与平面所成角的正切值等于 故选：D 【答案点睛】 本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 3、B 【答案解析】 根据三角函数的定义求得后可得结论． 【题目详解】 由题意得点与原点间的距离． ①当时，， ∴， ∴． ②当时，， ∴， ∴． 综上可得的值是或． 故选B． 【答案点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可． 4、D 【答案解析】 由题设中所给的定义，方程的实数根叫做函数的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出的大致范围 【题目详解】 解：由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”， 对于函数，由于， ， 设，该函数在为增函数， ， ， 在上有零点， 故函数的“新驻点”为，那么 故选：． 【答案点睛】 本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题.. 5、D 【答案解析】 先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率. 【题目详解】 双曲线与互为共轭双曲线， 四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为， 四个顶点形成的四边形的面积， 四个焦点连线形成的四边形的面积， 所以， 当取得最大值时有，，离心率， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 6、A 【答案解析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【题目详解】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A． 【答案点睛】 本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 7、C 【答案解析】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【题目详解】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8、A 【答案解析】 设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案. 【题目详解】 如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为 因为点在角的终边上，所以 依题有,则， 所以， 故选：A 【答案点睛】 本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 9、C 【答案解析】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴ 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 故选C. 点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 10、C 【答案解析】 画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比. 【题目详解】 作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为. 故选： 【答案点睛】 解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题. 11、C 【答案解析】 需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出， ，结合比值与正切二倍角公式化简即可 【题目详解】 如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知， 所以，，，， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 12、C 【答案解析】 根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案. 【题目详解】 由题意，， 第1次循环，，满足判断条件； 第2次循环，，满足判断条件； 第3次循环，，满足判断条件； 可得的值满足以3项为周期的计算规律， 所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））. 【题目详解】 由题意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力. 14、 【答案解析】 求导，得到和，利用点斜式即可求得结果. 【题目详解】 由于，，所以， 由点斜式可得切线方程为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题. 15、②③ 【答案解析】 由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为 ，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③． 16、 【答案解析】 建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案. 【题目详解】 以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则 ， 所以，，由， 得，即，又，所以 ，故,,