2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ） A． B． C． D． 4．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A．8年 B．9年 C．10年 D．11年 5．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A．180 B．90 C．45 D．360 6．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则( ) A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 7．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ） A． B． C． D． 8．下列命题是真命题的是（ ） A．若平面，，，满足，，则； B．命题：，，则：，； C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件； D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”. 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 10．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ） A． B． C． D． 11．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ） A．2 B．3 C．7 D．8 12．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．根据如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值为_______. 14．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____. 15．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________. 16．在中，，．若，则 _________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知直线与抛物线交于两点. （1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率； （2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程. 18．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示. 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号A 30 30 0 频数 型号B 20 30 10 型号C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. （1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？ 19．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表； 记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）. 记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，. （1）设，，请计算，，； （2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表； （3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值. 20．（12分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2） （1）求抛物线Γ的方程； （2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 21．（12分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围． 22．（10分）已知首项为2的数列满足. （1）证明：数列是等差数列． （2）令，求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 利用复数相等的条件求得，，则答案可求． 【题目详解】 由，得，． 对应的点的坐标为，，． 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 2、B 【答案解析】 根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出. 【题目详解】 为上的奇函数， ， 而函数是上的偶函数，， ， 故为周期函数，且周期为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围． 【题目详解】 解：，或其积，或其商仍是该数列中的项， 或者或者是该数列中的项， 又数列是递增数列， ， ，，只有是该数列中的项， 同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有， ，或（舍，， 根据，，， 同理易得，，，，，， ， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 4、D 【答案解析】 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案. 【题目详解】 依题意在回归直线上， ， 由， 估计第年维修费用超过15万元. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 5、A 【答案解析】 试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 6、A 【答案解析】 作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【题目详解】 ①如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接. 由图可知，，所以，所以①正确. ②由于，所以与所成角，所以，所以②正确. 综上所述，①②都正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7、C 【答案解析】 展开式的通项为 ，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1． 所以.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 8、D 【答案解析】 根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D. 【题目详解】 若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误； 命题“：，”的否定为：，，故B错误； 为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误； 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确； 故选D 【答案点睛】 本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题. 9、A 【答案解析】 根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【题目详解】 由题意，该几何体如图所示： 该几何体的体积. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题． 10、D 【答案解析】 由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D． 11、C 【答案解析】 先确定集合中元素，可得非空子集个数． 【题目详解】 由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个． 12、C 【答案解析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象， 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由，得， 函数在区间上单调递增，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 算法的功能是求的值，根据输出的值，分别求出当时和当时的值即可得解． 【题目详解】 解：由程序语句知：算法的功能是求的值， 当时，，可得：，或（舍去）； 当时，，可得：（舍去）． 综上的值为：． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题． 14、3 【答案解析】 在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解. 【题目详解】 设，， 则 ， 故. 故答案为：3 【答案点睛】 此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解. 15、 【答案解析】 把 绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值. 【题目详解】 将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题. 16、 【答案解析】 分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果. 详解：根据题意，设，则，根据， 得，由勾股定理可得， 根据余弦定理可得， 化简整理得，即，解得， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁