2023学年湖南省株洲市攸县三中高三二诊模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ） A． B． C． D． 3． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A．56383 B．57171 C．59189 D．61242 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，且，则m=( ) A．−8 B．−6 C．6 D．8 6．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ） A．甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大 C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等 7．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ） A．36 B．72 C． D． 8．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A．3 B． C． D． 9．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知函数的图象的一条对称轴为，将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 11．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 12．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个． 14．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答） 15．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________. 16．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是. （1）求椭圆的标准方程. （2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 18．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程； （2）已知点，直线与曲线交于、两点，求. 19．（12分）已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）判断函数的零点个数. 20．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，. （1）求证:平面； （2）求证:. 21．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，. （1）求的值； （2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴. 22．（10分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值. 【题目详解】 根据题意，可知为等差数列，公差， 由成等比数列，可得， ∴，解得. ∴. 根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值. 2、A 【答案解析】 设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解. 【题目详解】 设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ， 由椭圆和双曲线的定义得： ， 解得，设， 在中，由余弦定理得： ， 化简得， 即. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3、C 【答案解析】 根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果. 【题目详解】 被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为的等差数列，记数列 则 令，解得. 故该数列各项之和为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查等差数列的应用，属基础题。 4、A 【答案解析】 由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【题目详解】 水费开支占总开支的百分比为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5、D 【答案解析】 由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【题目详解】 ∵，又， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1． 故选D． 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 6、B 【答案解析】 由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【题目详解】 对于甲，； 对于乙，， 故正确； 甲的极差为，乙的极差为，故错误； 对于甲，方差.5， 对于乙，方差，故正确； 甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确． 故选：． 【答案点睛】 本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 7、A 【答案解析】 根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到. 【题目详解】 等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 8、B 【答案解析】 由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图： 直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为， ∴几何体的体积，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积. 9、C 【答案解析】 ①根据线性相关性与r的关系进行判断,  ②根据相关指数的值的性质进行判断,  ③根据方差关系进行判断,  ④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【题目详解】 ①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;   ②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误; ③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;  ④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题. 10、C 【答案解析】 根据辅助角公式化简三角函数式，结合为函数的一条对称轴可求得，代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数的解析式. 【题目详解】 函数， 由辅助角公式化简可得， 因为为函数图象的一条对称轴， 代入可得， 即，化简可解得， 即， 所以 将函数的图象向右平行移动个单位长度可得， 则， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题. 11、B 【答案解析】 由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像. 【题目详解】 函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值， 当时，；当时，；当时，. 时，，时，， 当或时，；当时，. 故选： 【答案点睛】 根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 12、A 【答案解析】 先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围. 【题目详解】 由题意知sin，∴， ∴，随n的增大而增大，∴, ∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数的最小值为3. 【答案点睛】 本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据数据先求出，再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【题目详解】 解：， . 则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查频率分布直方图，属于基础题. 14、36 【答案解析】 先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果. 【题目详解】 由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法