2023学年湖南省衡阳市第一中学高三二诊模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，且，则（ ） A． B． C． D． 2．若与互为共轭复数，则（ ） A．0 B．3 C．－1 D．4 3．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A．-2 B．2 C．4 D．7 4．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入 A． B． C． D． 5．已知平面向量，，，则实数x的值等于（ ） A．6 B．1 C． D． 6．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断： ①直线与直线的斜率乘积为； ②轴； ③以为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 7．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( ) A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1 C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 9．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ） A． B． C．1 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知一组数据，1，0，，的方差为10，则________ 14．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______. 15．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________． 16．若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图所示，已知平面，，为等边三角形，为边上的中点，且. (Ⅰ)求证：面； (Ⅱ)求证：平面平面； (Ⅲ)求该几何体的体积． 18．（12分）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值. 19．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状； (2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长. 20．（12分）已知在中，内角所对的边分别为，若，，且. （1）求的值； （2）求的面积. 21．（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点， （1）证明：直线的斜率是－1； （2）若，，成等比数列，求直线的方程. 22．（10分）如图，四棱锥中，平面，，，. （Ｉ）证明：； （Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围. 【题目详解】 即 故选：C 【答案点睛】 此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目. 2、C 【答案解析】 计算，由共轭复数的概念解得即可. 【题目详解】 ，又由共轭复数概念得：， . 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念. 3、B 【答案解析】 在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差. 【题目详解】 在等差数列的前项和为，则 则 故选：B 【答案点睛】 本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 4、C 【答案解析】 由于中正项与负项交替出现，根据可排除选项A、B；执行第一次循环：，①若图中空白框中填入，则，②若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第二次循环：由①②均可得，③若图中空白框中填入，则，④若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第三次循环：由③可得，符合题意，由④可得，不符合题意，所以图中空白框中应填入，故选C． 5、A 【答案解析】 根据向量平行的坐标表示即可求解. 【题目详解】 ，，， ， 即， 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题. 6、B 【答案解析】 由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论. 【题目详解】 解：由题意，可设直线的方程为， 代入抛物线的方程，有． 设点，的坐标分别为，， 则，． 所． 则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确． 将代入抛物线的方程可得，，从而，， 根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称， 所以直线轴．所以②正确． 如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为， 则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线， 则．所以③不正确． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题． 7、D 【答案解析】 由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决. 【题目详解】 因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时， ，且时，单调递增，所以 在上单调递增，因为， 故有，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题. 8、D 【答案解析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【题目详解】 回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误； 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误； 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9、D 【答案解析】 将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果. 【题目详解】 ，对应的点位于第四象限. 故选:. 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易. 10、B 【答案解析】 化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【题目详解】 对应的点的坐标为在第二象限 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 11、A 【答案解析】 先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值. 【题目详解】 已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x）， =， =， 因为， 所以f（x）的最小值为. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12、C 【答案解析】 每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案. 【题目详解】 每一次成功的概率为，服从二项分布，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、7或 【答案解析】 依据方差公式列出方程，解出即可． 【题目详解】 ，1，0，，的平均数为， 所以 解得或． 【答案点睛】 本题主要考查方差公式的应用． 14、 【答案解析】 易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解． 【题目详解】 ， 设，， 令， 当时，，所以单调递减 令， 当时，，所以单调递增 所以当时， ， ， 则 则， 即 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题． 15、4 【答案解析】 由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可 【题目详解】 由题意得函数的最小正周期,解得 故答案为：4 【答案点睛】 本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的 16、 【答案解析】 依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式 所以即可得出答案. 【题目详解】 解: 正三棱柱的所有棱长均为2, 则, 点到平面的距离为点到直线的距离 所以, 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）. 【答案解析】 （I）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（II）利用，证得平面，从而得到平面，由此证得平面平面.（III）作交于点，易得面，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积. 【题目详解】 (Ⅰ)取的中点，连接，则，， 故四边形为平行四边形. 故. 又面，平面，所以面. (Ⅱ)为等边三角形，为中点，所以.又， 所以面. 又，故面，所以面平面. (Ⅲ)几何体是四棱锥，作交于点，即面， . 【答案点睛】 本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题. 18、（1）；（2）详见解析. 【答案解析】 试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件 得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值. （1），， 又是等腰三角形，所以， 把点代入椭圆方程，求得， 所以椭圆方程为； （2）由题易得直线、斜率均存在， 又，所以， 设直线代入椭圆方程， 化简得， 其一解为，另一解为，